ব্যাখ্যাঃ আমরা $9^x+9^x+9^x$-কে সহজভাবে লিখতে পারি। ধরি, $9^x$ একটি সাধারণ পদ। তাহলে: $$9^x+9^x+9^x=3\cdot 9^x$$ $$9^x+9^x+9^x=3\cdot 9^x$$ $${3.3}^{2x}$$ $$3^{2x+1}$$

ব্যাখ্যাঃ রম্বসের ক্ষেত্রফল বের করার জন্য সূত্রটি হলো: $$\text{ক্ষেত্রফল}=\frac{1}{2}\times \text{প্রথম কর্ণ}\times \text{দ্বিতীয় কর্ণ}$$ এখানে প্রথম কর্ণ = $8\text{সে.মি.}$, এবং দ্বিতীয় কর্ণ = $6\text{সে.মি.}$। তাহলে, ক্ষেত্রফল: $$\text{ক্ষেত্রফল}=\frac{1}{2}\times 8\times 6$$ $$\text{ক্ষেত্রফল}=\frac{1}{2}\times 48=24$$ উত্তর: রম্বসের ক্ষেত্রফল $24\text{বর্গ সেন্টিমিটার}$।

ব্যাখ্যাঃ $0÷0$ নির্ণয় করা সম্ভব নয়, কারণ গণিতের নিয়ম অনুযায়ী, এটি একটি অসংজ্ঞায়িত (undefined) রাশি।

এর কারণ হলো:
- ভাগফল $x$-কে নির্ণয় করতে হলে $0÷0=x$, যা থেকে পাই $x\times 0=0$।
- যেকোনো সংখ্যা $x$ এর জন্য $x\times 0=0$ হয়, তাই এখানে $x$-এর একক মান নির্ণয় করা সম্ভব নয়।

অতএব, $0÷0$ অসংজ্ঞায়িত।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, $a$ এবং $b$ দুটি সংখ্যা। আমাদের দেওয়া আছে:

১. $a+b=2$
২. $ab=1$

এখন আমরা $a$ এবং $b$-এর মান নির্ণয়ের জন্য একটি বর্গ সমীকরণ গঠন করব। বর্গ সমীকরণের সাধারণ রূপ হলো: $$x^2-(a+b)x+ab=0$$ এখন $a+b=2$ এবং $ab=1$ এর মান ব্যবহার করি: $$x^2-2x+1=0$$ এটি একটি পূর্ণ বর্গ ধরণের সমীকরণ: $$(x-1{)}^2=0$$ তাহলে, $x=1$। অর্থাৎ, $a=1$ এবং $b=1$।

উত্তর: $a=1$ এবং $b=1$।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, করিম সাহেবের মাসিক বেতন $x$ টাকা। প্রভিডেন্ট ফান্ডের জন্য শতকরা ১০ ভাগ কর্তনের পর তার হাতে থাকে ২৭০০ টাকা।

তাহলে, তার হাতে থাকা বেতনের মান হবে: $$x-\frac{10}{100}x=2700$$ এখন সরল করি: $$x(1-\frac{10}{100})=2700$$ $$x\cdot \frac{90}{100}=2700$$ $$\frac{9x}{10}=2700$$ এখন $x$-এর মান নির্ণয় করি: $$x=\frac{2700\cdot 10}{9}=3000$$ উত্তর: করিম সাহেবের মাসিক বেতন $3000$ টাকা।

ব্যাখ্যাঃ ছয় দফার দাবিগুলো ছিল:

১. শাসনতান্ত্রিক কাঠামো ও রাষ্ট্রের প্রকৃতি: দেশের শাসনতান্ত্রিক কাঠামো হবে ফেডারেল বা যুক্তরাষ্ট্রীয় এবং সরকার পদ্ধতি হবে সংসদীয়। প্রাপ্তবয়স্ক নাগরিকদের ভোটে নির্বাচিত আইন সভার সদস্যদের নিয়ে গঠিত হবে কেন্দ্রীয় ও প্রাদেশিক সরকার।

২. কেন্দ্রীয় সরকারের ক্ষমতা: কেন্দ্রীয় সরকারের ক্ষমতা শুধুমাত্র দুটি বিষয়ে সীমাবদ্ধ থাকবে, যথা - প্রতিরক্ষা ও বৈদেশিক যোগাযোগ। অবশিষ্ট সকল বিষয়ে প্রাদেশিক সরকারগুলোর ক্ষমতা থাকবে নিরঙ্কুশ।

৩. মুদ্রা বা অর্থ সংক্রান্ত ক্ষমতা: পূর্ব ও পশ্চিম পাকিস্তানের জন্য দুটি পৃথক অথচ সহজে বিনিময়যোগ্য মুদ্রা থাকবে। অথবা, এর বিকল্প ব্যবস্থা হিসেবে একটি মুদ্রাই থাকবে, তবে এ ক্ষেত্রে পূর্ব পাকিস্তানের মুদ্রা যাতে পশ্চিম পাকিস্তানে পাচার হতে না পারে, তার জন্য সাংবিধানিক বিধান রাখতে হবে।

৪. রাজস্ব, কর, বা শুল্ক সংক্রান্ত ক্ষমতা: সকল প্রকার রাজস্ব, কর ও শুল্ক ধার্য ও আদায়ের ক্ষমতা থাকবে প্রাদেশিক সরকারগুলোর হাতে। কেন্দ্রীয় সরকারের কোন রাজস্ব ধার্যের ক্ষমতা থাকবে না। প্রাদেশিক সরকারের আদায়কৃত রাজস্বের একটি অংশ কেন্দ্রীয় সরকারকে তার ব্যয় নির্বাহের জন্য দেওয়া হবে।

৫. বৈদেশিক বাণিজ্য বিষয়ক ক্ষমতা: বৈদেশিক বাণিজ্যের ক্ষেত্রে দুই অঞ্চলের জন্য পৃথক পৃথক হিসাব রাখতে হবে এবং পূর্ব পাকিস্তানের অর্জিত বৈদেশিক মুদ্রা পূর্ব পাকিস্তানের অধীনেই থাকবে। কেন্দ্রীয় সরকারের উপর এর কোন নিয়ন্ত্রণ থাকবে না।

৬. আঞ্চলিক সেনাবাহিনী গঠনের ক্ষমতা: আঞ্চলিক সংহতি ও শাসনতন্ত্র রক্ষার জন্য প্রাদেশিক সরকারগুলোকে আধাসামরিক বা আঞ্চলিক সেনাবাহিনী গঠনের ক্ষমতা দিতে হবে।

ব্যাখ্যাঃ সরল সুদের সূত্র হলো: $$\text{সুদ}=\frac{P\cdot R\cdot T}{100}$$ যেখানে: $P=$ মূলধন = ১০,০০০ টাকা $R=$ বার্ষিক হার = ৬% $T=$ সময় = $\frac{৯}{১২}=০.৭৫$ বছর (কারণ ৯ মাস = ০.৭৫ বছর) এখন মান বসিয়ে পাই: $$\text{সুদ}=\frac{10000\cdot 6\cdot 0.75}{100}$$ $$\text{সুদ}=\frac{45000}{100}=450$$ উত্তর: সুদ হবে ৪৫০ টাকা।

ব্যাখ্যাঃ বাংলা ভাষায় ২১টি তৎসম উপসর্গ রয়েছে। তৎসম উপসর্গ মূলত সংস্কৃত ভাষা থেকে এসেছে এবং এগুলো বাংলা ভাষায় অপরিবর্তিতভাবে ব্যবহৃত হয়।

তৎসম উপসর্গের তালিকা:

১. অ- (অশুভ)
2. অতিঃ (অতিবৃদ্ধি)
3. অধিঃ (অধিকরণ)
4. অনু- (অনুকরণ)
5. অপ- (অপরাধ)
6. অভি- (অভিযান)
7. অধঃ- (অধঃপতন)
8. আ- (আবেদন)
9. উৎ- (উৎপাদন)
10. উপ- (উপনয়ন)
11. নির্- (নির্মাণ)
12. নিস্- (নিস্ক্রিয়)
13. দুর্- (দুর্বুদ্ধি)
14. দুঃ- (দুঃখ)
15. পরা- (পরাক্রম)
16. পরি- (পরিবর্তন)
17. প্র- (প্রকাশ)
18. প্রতি- (প্রতিযোগিতা)
19. বি- (বিজ্ঞ)
20. সম্- (সম্পর্ক)
21. সু- (সুশীল)

এই উপসর্গগুলো বাংলা ভাষায় নতুন শব্দ গঠনের ক্ষেত্রে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা রাখে।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, বৃত্তের প্রাথমিক ব্যাসার্ধ হলো $r$। তাহলে প্রাথমিক ক্ষেত্রফল হবে: $$\text{প্রাথমিক ক্ষেত্রফল}=\pi r^2$$ যখন ব্যাস ২০% বৃদ্ধি পায়, তখন ব্যাসার্ধও ২০% বৃদ্ধি পাবে। নতুন ব্যাসার্ধ হবে: $$r_{\text{নতুন}}=r+0.2r=1.2r$$ নতুন ক্ষেত্রফল: $$\text{নতুন ক্ষেত্রফল}=\pi (1.2r{)}^2=\pi (1.44r^2)=1.44\pi r^2$$ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধির পরিমাণ: $$\text{ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি}=\text{নতুন ক্ষেত্রফল}-\text{প্রাথমিক ক্ষেত্রফল}$$ $$\text{ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি}=1.44\pi r^2-\pi r^2=0.44\pi r^2$$ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি শতকরা হিসেবে: $$\text{বৃদ্ধি}=\frac{0.44\pi r^2}{\pi r^2}\times 100=44\mathrm{\%}$$ উত্তর: বৃত্তের ব্যাস ২০% বাড়ালে এর ক্ষেত্রফল ৪৪% বৃদ্ধি পাবে।

ব্যাখ্যাঃ ১. প্রদত্ত তথ্য বিশ্লেষণ: যদি ২৭, ৪০, এবং ৬৫-কে একটি বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ৩, ৪, এবং ৫ ভাগশেষ থাকে, তাহলে আমরা এই সংখ্যাগুলোর থেকে তাদের ভাগশেষ বাদ দিই: $$27-3=24,40-4=36,65-5=60$$ ২. এই সংখ্যাগুলোর গ.সা.গু (GCD) নির্ণয়:
এখন ২৪, ৩৬, এবং ৬০-এর গ.সা.গু বের করতে হবে।

৩. গ.সা.গু বের করা:
২৪-এর গুণনীয়ক: $1,2,3,4,6,8,12,24$
৩৬-এর গুণনীয়ক: $1,2,3,4,6,9,12,18,36$
৬০-এর গুণনীয়ক: $1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60$

এই তিনটি সংখ্যার গুণনীয়কগুলোর মধ্যে সর্বাধিক সাধারণ গুণনীয়ক হলো $12$।

৪. উত্তর:
তাহলে, বৃহত্তম সংখ্যা হলো $12$।

উত্তর: বৃহত্তম সংখ্যা যার দ্বারা ২৭, ৪০, ৬৫-কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৩, ৪, ৫ ভাগশেষ থাকবে, তা হলো $12$।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, চাকাটি প্রতি মিনিটে $90$ বার ঘোরে।

ধাপ ১: প্রতি সেকেন্ডে ঘূর্ণন সংখ্যা নির্ণয়
এক মিনিটে $60$ সেকেন্ড থাকে।
তাহলে, প্রতি সেকেন্ডে চাকাটি ঘোরে: $$\frac{90}{60}=1.5\text{বার}$$ ধাপ ২: একবার সম্পূর্ণ ঘূর্ণন মানে ${360}^{\circ }$
তাহলে, প্রতি সেকেন্ডে চাকাটি $1.5$ বার ঘুরলে মোট ঘূর্ণন হবে: $$1.5\times {360}^{\circ }={540}^{\circ }$$ উত্তর: ১ সেকেন্ডে চাকাটি ${540}^{\circ }$ ঘুরবে।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, সেই সংখ্যা হলো $x$।
প্রদত্ত শর্ত অনুসারে: $$\frac{1}{2}x+6=\frac{2}{3}x$$ এখন $x$-এর মান নির্ণয় করি:

১. প্রথমে ভগ্নাংশগুলো সরল করার জন্য উভয় পাশে $6$-এর ল.সা.গু $6$ দ্বারা গুণ করি: $$6\cdot \frac{1}{2}x+6\cdot 6=6\cdot \frac{2}{3}x$$ $$3x+36=4x$$ ২. সমীকরণটি পুনরায় লিখি: $$36=4x-3x$$ $$36=x$$ উত্তর: সংখ্যাটি হলো $36$।

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত ভগ্নাংশ: $$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}+2}$$ এখন আমরা লঘিষ্ঠ করার জন্য লব্ধি ও হরকে $\sqrt{6}-2$ দিয়ে গুণ করি, যাকে লঘিষ্ঠকরণ পদ্ধতি বলা হয়। $$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}+2}\cdot \frac{\sqrt{6}-2}{\sqrt{6}-2}=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{6}-2)}{(\sqrt{6}+2)(\sqrt{6}-2)}$$ এখন হরের গুণফল বের করি। এটি $(a+b)(a-b)$-এর সূত্র অনুযায়ী হয়: $$(\sqrt{6}{)}^2-(2{)}^2=6-4=2$$ তাহলে ভগ্নাংশটি হয়: $$\frac{\sqrt{2}(\sqrt{6}-2)}{2}$$ এখন সরল করি: $$\frac{\sqrt{2}\sqrt{6}}{2}-\frac{\sqrt{2}\cdot 2}{2}$$ $$=\frac{\sqrt{12}}{2}-\sqrt{2}$$ $\sqrt{12}$ কে সরল করলে পাই $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$। তাহলে চূড়ান্ত রূপটি হবে: $$\frac{2\sqrt{3}}{2}-\sqrt{2}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$$ উত্তর: $$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}+2}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$$

ব্যাখ্যাঃ ধরি, সেই সংখ্যা হলো $x$।

প্রশ্ন অনুসারে: $$\frac{30}{100}x-30=30$$ এখন সমীকরণটি সরল করি: $$\frac{30}{100}x=30+30$$ $$\frac{30}{100}x=60$$ $x$-এর মান নির্ণয় করতে: $$x=\frac{60\times 100}{30}$$ $$x=200$$ উত্তর: সংখ্যাটি হলো $200$।

ব্যাখ্যাঃ ফারেনহাইট থেকে সেলসিয়াসে রূপান্তরের সূত্র হলো: $$C=\frac{5}{9}\times (F-32)$$ এখানে $F=100$, তাই: $$C=\frac{5}{9}\times (100-32)=\frac{5}{9}\times 68$$ $$C=\frac{340}{9}\approx 37.78$$ উত্তর: $100\text{ডিগ্রি ফারেনহাইট}\approx 37.78\text{ডিগ্রি সেলসিয়াস}$।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, দুটি সংখ্যা হলো $a$ এবং $b$। আমাদের দেওয়া আছে:

১. ল.সা.গু ($LCM$) = ৮৪
২. গ.সা.গু ($GCD$) = ১৪
৩. $a=\frac{2}{3}b$।

ল.সা.গু এবং গ.সা.গু সূত্র: $$LCM\times GCD=a\times b$$ এখানে $a=\frac{2}{3}b$ বসিয়ে পাই: $$84\times 14=\left(\frac{2}{3}b\right)\times b$$ $$1176=\frac{2}{3}{b}^2$$ এখন $b^2$-এর মান নির্ণয় করি: $$b^2=\frac{1176\times 3}{2}=1764$$ $$b=\sqrt{1764}=42$$ তাহলে, $b=42$। এখন $a=\frac{2}{3}b$: $$a=\frac{2}{3}\times 42=28$$ ছোট সংখ্যাটি:
ছোট সংখ্যাটি হলো $28$।


উত্তর: ছোট সংখ্যাটি $28$।

ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি, কোনো সংখ্যার ১% বের করার জন্য সংখ্যাটিকে $\frac{1}{100}$-এর সাথে গুণ করতে হয়।

$১৬\text{কোটি}=১৬,০০,০০,০০০$

এখন, $১৬,০০,০০,০০০\times \frac{1}{100}=১৬,০০,০০,০০০÷১০০=১৬,০০,০০০$

উত্তর: ১৬ কোটির ১% হলো $১৬,০০,০০০$।

ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি যে, চাকার মোট ঘূর্ণনের পরিধি সমান হবে গাড়িটির মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব। চাকার পরিধি নির্ণয়ের জন্য সূত্র ব্যবহার করি: $$\text{চাকার পরিধি}=\frac{\text{মোট দূরত্ব}}{\text{মোট ঘূর্ণন সংখ্যা}}$$ প্রদত্ত:
- মোট দূরত্ব = $10\text{কি.মি.}=10,000\text{মিটার}$
- মোট ঘূর্ণন সংখ্যা = $2000$

তাহলে, চাকার পরিধি: $$\text{পরিধি}=\frac{10,000}{2000}=5\text{মিটার}$$ উত্তর: চাকার পরিধি $5\text{মিটার}$।

ব্যাখ্যাঃ আমরা সরল সুদের সূত্র ব্যবহার করব: $$\text{সুদ}=\frac{P\cdot R\cdot T}{100}$$ যেখানে: $P=$ মূলধন = $10,000$ টাকা $R=$ বার্ষিক মুনাফার হার = $12$% $T=$ সময় (যা আমরা বের করব) $\text{সুদ}=4800$ এখন সূত্রে মান বসাই: $$4800=\frac{10000\cdot 12\cdot T}{100}$$ সরল করি: $$4800=1200\cdot T$$ $$T=\frac{4800}{1200}=4$$ উত্তর: মুনাফা ৪৮০০ টাকা হতে $4$ বছর সময় লাগবে।

ব্যাখ্যাঃ একটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হতে, সংখ্যাটির গুণনীয়কগুলোর ঘাত সমান হতে হবে। আমরা $125$-এর মৌলিক গুণনীয়ক বের করি: $$125=5\times 5\times 5=5^3$$ এখন, $5^3$-কে পূর্ণ বর্গ সংখ্যা বানাতে হলে $5$-এর ঘাতকে জোড় সংখ্যা করতে হবে। সুতরাং, আরও $5$ দিয়ে গুণ করতে হবে যাতে এটি $5^4=(5^2{)}^2$ হয়ে যায়, যা একটি পূর্ণ বর্গ।

তাহলে, $125$-কে $5$ দ্বারা গুণ করতে হবে।

উত্তর: $125$-কে $5$ দ্বারা গুণ করলে এটি একটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হবে।