ব্যাখ্যাঃ প্রশ্নটি হলো, $4x^2-Px+9$ একটি পূর্ণ বর্গ হবে যখন $P$-এর মান কত হবে?

যে কোনো দ্বিঘাত রাশি $(ax+b{)}^2$ আকারে লিখলে সেটি পূর্ণ বর্গ হয়। $$(ax+b{)}^2=a^2{x}^2+2abx+b^2$$ দেওয়া বহুপদীটি: $$4x^2-Px+9$$ এটি পূর্ণ বর্গ হলে, এটিকে উপরোক্ত আকারে প্রকাশ করা যাবে। তুলনা করে পাই: $$a^2=4⟹a=2\text{ বা }a=-2$$ $$b^2=9⟹b=3\text{ বা }b=-3$$ এখন, $P=2ab$ প্রথম ক্ষেত্রে: $a=2$, $b=3$ $$P=2\cdot 2\cdot 3=12$$ দ্বিতীয় ক্ষেত্রে: $a=2$, $b=-3$ $$P=2\cdot 2\cdot -3=-12$$ তৃতীয় ক্ষেত্রে: $a=-2$, $b=3$ $$P=2\cdot -2\cdot 3=-12$$ চতুর্থ ক্ষেত্রে: $a=-2$, $b=-3$ $$P=2\cdot -2\cdot -3=12$$ অতএব, $P$-এর মান হতে পারে $12$ বা $-12$।

ব্যাখ্যাঃ $$x^2-8x-8y+16+y^2$$ $$=x^2+y^2+(-4{)}^2+2xy-8y-8x-2xy$$ $$=x^2+y^2+(-4{)}^2+2.x.y+2.y(-4)+2(-4)x-2xy$$ $$=(x+y-4{)}^2-2xy$$ পূর্ণ বর্গ করতে হলে 2xy যোগ করতে হবে।

ব্যাখ্যাঃ আমাদের দেওয়া আছে: $$a+b+c=0$$ আমরা জানি যে, $a+b+c=0$ হলে, $$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$$ কিন্তু যেহেতু $a+b+c=0$, $$a^3+b^3+c^3-3abc=0$$ $$a^3+b^3+c^3=3abc$$ অতএব, $a+b+c=0$ হলে $a^3+b^3+c^3$ এর মান হবে $3abc$।