ব্যাখ্যাঃ দুটি সরলরেখার মধ্যবর্তী দূরত্ব যখন সর্বদা একই থাকে তখন একটিকে অপরটির সমান্তরাল রেখা বলা হয়। ∴ দুটি সমান্তরাল রেখা কখনও একটিকে অপরটি ছেদ করে না।

ব্যাখ্যাঃ উক্তস্থান দ্বয়ে EY বসালে যথার্থ হয়। সেক্ষেত্রে উত্তর হবে ASSEMBLY.

ব্যাখ্যাঃ Extempore- পূর্বপ্রস্তুতিহীন; উপস্থিত। Planned- পরিকল্পিত; Improvise- তাৎক্ষণিক ভাবে উদ্ভাবন বা প্রস্তুত করা; Impromptu - প্রত্যুৎপন্ন; পূর্বপ্রস্তুতিহীন; Immediate- তাৎক্ষণিক। এখানে extempore এর synonym হলো Impromptu. Improvise অর্থের দিক দিয়ে সমার্থক হলেও parts of speech হিসেবে ভিন্ন।

ব্যাখ্যাঃ $$1\times 88=88$$ $$2\times 44=88$$ $$4\times 22=88$$ $$8\times 11=88$$ $$\therefore Divisorsof88=1,2,4,8,11,22,44,88$$ $$1\times 91=91$$ $$7\times 13=91$$ $$\therefore Divisorsof911,7,13,91$$ $$1\times 95=95$$ $$5\times 19=95$$ $$\therefore Divisorsof95=1,5,19,95$$ $$1\times 99=99$$ $$3\times 33=99$$ $$9\times 11=99$$ $$\therefore Divisorsof991,3,9,11,33,99$$ $$\therefore 88hasthemostdivisors$$

ব্যাখ্যাঃ যদি কোনো পণ্যের উপর পরপর দুটি ডিসকাউন্ট দেওয়া হয়, তাহলে সমতুল্য একক ডিসকাউন্ট বের করার সূত্র হলো: $$\text{Equivalent Discount}=A+B-\left(\frac{A\times B}{100}\right)$$ যেখানে, - $A=20\mathrm{\%}$ (প্রথম ডিসকাউন্ট) - $B=15\mathrm{\%}$ (দ্বিতীয় ডিসকাউন্ট) ### ধাপে ধাপে সমাধান: $$=20+15-\left(\frac{20\times 15}{100}\right)$$ $$=20+15-\frac{300}{100}$$ $$=20+15-3$$ $$=32\mathrm{\%}$$ ✅ উত্তর: 32% (একক ডিসকাউন্ট)

ব্যাখ্যাঃ ধরি, মোট পরীক্ষার্থী সংখ্যা $N$। আমরা জানতে চাই উভয় বিষয়ে কত জন শিক্ষার্থী ফেল করেছে। এই সংখ্যা নির্ণয় করার জন্য আমরা নিম্নলিখিত পদক্ষেপগুলি অনুসরণ করব: ১. গণিতে পাস করেছে মোট পরীক্ষার্থীর ৮০%: $$\text{গণিত পাস করেছে}=০.৮N$$ ২. বাংলায় পাস করেছে মোট পরীক্ষার্থীর ৭০%: $$\text{বাংলা পাস করেছে}=০.৭N$$ ৩. উভয় বিষয়ে পাস করেছে মোট পরীক্ষার্থীর ৬০%: $$\text{উভয় বিষয়ে পাস করেছে}=০.৬N$$ এখন, কমপক্ষে একটি বিষয়ে পাস করেছে এমন শিক্ষার্থীদের সংখ্যা: $$০.৮N+০.৭N-০.৬N=০.৯N$$ তাহলে, উভয় বিষয়ে ফেল করেছে শিক্ষার্থীদের সংখ্যা: $$১N-০.৯N=০.১N$$ উভয় বিষয়ে ফেল করেছে শিক্ষার্থীদের শতকরা সংখ্যা: $$০.১N\times ১০০\mathrm{\%}=১০\mathrm{\%}$$ তাহলে, উভয় বিষয়ে শতকরা ১০% শিক্ষার্থী ফেল করেছে।

ব্যাখ্যাঃ যে বক্তব্যে অনেক বেশি শব্দ (words) বা বাগাড়ম্বর থাকে, সাহিত্যের ভাষায় তাকে বলে Verbose Speech । সুতরাং সঠিক উত্তর (ঘ)।

ব্যাখ্যাঃ সমস্যাটি সমাধান করতে আমাদের এমন একটি সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে যা ৮, ১০ এবং ১২ দ্বারা বিভাজ্য এবং এটি একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা।

ধাপ ১: ৮, ১০ এবং ১২ এর লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক (LCM) নির্ণয়
প্রথমে ৮, ১০ এবং ১২ এর লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক (LCM) নির্ণয় করি।
- ৮ এর মৌলিক উৎপাদক: $2^3$
- ১০ এর মৌলিক উৎপাদক: $2\times 5$
- ১২ এর মৌলিক উৎপাদক: $2^2\times 3$

LCM হবে প্রতিটি মৌলিক উৎপাদকের সর্বোচ্চ ঘাতের গুণফল: $$\text{LCM}=2^3\times 3\times 5=120$$ ধাপ ২: পূর্ণবর্গ সংখ্যা নির্ণয়
এখন, আমাদের এমন একটি সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে যা ১২০ এর গুণিতক এবং একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা।

১২০ এর মৌলিক উৎপাদক: $$120=2^3\times 3\times 5$$ একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হতে হলে, প্রতিটি মৌলিক উৎপাদকের ঘাত জোড় সংখ্যা হতে হবে। তাই, আমরা ১২০ কে নিম্নলিখিতভাবে গুণ করব: $$120\times 2\times 3\times 5=120\times 30=3600$$ এখন, ৩৬০০ এর মৌলিক উৎপাদক: $$3600=2^4\times 3^2\times 5^2$$ যেহেতু প্রতিটি মৌলিক উৎপাদকের ঘাত জোড় সংখ্যা, তাই ৩৬০০ একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা।

ধাপ ৩: যাচাইকরণ
- ৩৬০০ ÷ ৮ = ৪৫০
- ৩৬০০ ÷ ১০ = ৩৬০
- ৩৬০০ ÷ ১২ = ৩০০

সকল ক্ষেত্রে ফলাফল পূর্ণ সংখ্যা, তাই ৩৬০০ সংখ্যাটি ৮, ১০ এবং ১২ দ্বারা বিভাজ্য এবং এটি একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা।

ফলাফল
স্কুলে কমপক্ষে ৩৬০০ জন ছাত্র আছে।

ব্যাখ্যাঃ ধাপে ধাপে আমরা দেখতে পাই: $$\sqrt{5}-\sqrt{3}=\frac{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$$ এখন উপরের অংশ সরলীকরণ করা হলে: $$(\sqrt{5}{)}^2-(\sqrt{3}{)}^2=5-3=2$$ তাহলে: $$\sqrt{5}-\sqrt{3}=\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$$

ব্যাখ্যাঃ ১. প্রথমে শ্রমিক এবং কাজের সম্পর্ক বিশ্লেষণ করি:

৫ জন শ্রমিক ৫ দিনে ৫টি কাপড় তৈরি করতে পারে।
অর্থাৎ, ৫ জন শ্রমিক প্রতিদিন তৈরি করতে পারে $\frac{৫}{৫}=১$ কাপড়।
তাহলে ১ জন শ্রমিক প্রতিদিন তৈরি করতে পারে: $$\frac{১}{৫}\text{ কাপড়।}$$ ২. ৭টি কাপড় তৈরি করতে ৭ জন শ্রমিকের দৈনিক কাজের ক্ষমতা বের করি:

৭ জন শ্রমিক একদিনে তৈরি করতে পারে: $$৭\times \frac{১}{৫}=\frac{৭}{৫}\text{ কাপড়।}$$ ৩. ৭টি কাপড় তৈরি করতে সময় বের করি:

যদি ৭ জন শ্রমিক প্রতিদিন $\frac{৭}{৫}$ কাপড় তৈরি করে, তাহলে ৭টি কাপড় তৈরি করতে সময় লাগবে: $$\frac{৭}{\frac{৭}{৫}}=৫\text{ দিন।}$$

ব্যাখ্যাঃ আমরা $a^2+\frac{1}{a^2}=51$ থেকে $a-\frac{1}{a}$-এর মান বের করতে পারি। ধাপে ধাপে সমাধান নিচে দেখানো হলো:

১. $a-\frac{1}{a}$-এর বর্গের সূত্র ব্যবহার করি: $${(a-\frac{1}{a})}^2=a^2+\frac{1}{a^2}-2$$ ২. এখানে $a^2+\frac{1}{a^2}=51$ দেওয়া আছে, তাই: $${(a-\frac{1}{a})}^2=51-2=49$$ ৩. বর্গমূল নিয়ে পাই: $$a-\frac{1}{a}=\sqrt{49}\text{বা}a-\frac{1}{a}=-\sqrt{49}$$ ৪. তাই: $$a-\frac{1}{a}=7\text{বা}a-\frac{1}{a}=-7$$ উত্তর: $a-\frac{1}{a}$-এর মান $7$ বা $-7$।

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত $f(x)=x^3-2x+10$-এ $x=0$ বসিয়ে $f(0)$ এর মান নির্ণয় করা যাক: $$f(0)=(0{)}^3-2(0)+10$$ এখন সরলীকরণ করি: $$f(0)=0-0+10=10$$ অতএব, $f(0)=10$।

ব্যাখ্যাঃ বৃত্তের সমীকরণটি হল: $$(x-h{)}^2+(y-k{)}^2=r^2$$ এখানে $(h,k)$ হলো বৃত্তের কেন্দ্র এবং $r$ হলো এর ব্যাসার্ধ।

প্রদত্ত সমীকরণটি: $$(x-4{)}^2+(y+3{)}^2=100$$ এখানে $(h,k)$-এর মান নির্ণয় করি: $$h=4\text{এবং}k=-3$$ তাহলে, বৃত্তের কেন্দ্রীয় স্থানাংক হলো: $$(4,-3)$$ উত্তর: বৃত্তের কেন্দ্রীয় স্থানাংক $(4,-3)$।

ব্যাখ্যাঃ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল বের করতে আমরা হেরনের সূত্র (Heron's Formula) ব্যবহার করতে পারি। ধাপে ধাপে সমাধান দেওয়া হলো:

ধাপ ১: পরিধি বের করা
ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য $a=20m$, $b=21m$, $c=29m$।
ত্রিভুজের অর্ধ-পরিধি ($s$) বের করি: $$s=\frac{a+b+c}{2}=\frac{20+21+29}{2}=\frac{70}{2}=35m$$ ধাপ ২: হেরনের সূত্র ব্যবহার
হেরনের সূত্র: $$\text{ক্ষেত্রফল}=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$ এখন মানগুলো বসাই: $$\text{ক্ষেত্রফল}=\sqrt{35(35-20)(35-21)(35-29)}$$ ধাপ ৩: সরলীকরণ $$\text{ক্ষেত্রফল}=\sqrt{35\cdot 15\cdot 14\cdot 6}$$ প্রথমে গুণ করি: $$15\cdot 14=210,210\cdot 6=1260,35\cdot 1260=44100$$ তাহলে: $$\text{ক্ষেত্রফল}=\sqrt{44100}=210{\text{m}}^2$$ চূড়ান্ত উত্তর:
ত্রিভুজাকৃতি মাঠের ক্ষেত্রফল হলো $210{\text{m}}^2$।

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সমীকরণটি হলো: $$(64{)}^{\frac{2}{3}}+(625{)}^{\frac{1}{2}}=3K$$ আমরা প্রথমে $(64{)}^{\frac{2}{3}}$ এবং $(625{)}^{\frac{1}{2}}$ এর মান নির্ণয় করব।

ধাপ 1: $(64{)}^{\frac{2}{3}}$ এর মান নির্ণয় $$(64{)}^{\frac{2}{3}}={\left({64}^{\frac{1}{3}}\right)}^2$$ $${64}^{\frac{1}{3}}=4(\text{কারণ }{4}^3=64)$$ $$(64{)}^{\frac{2}{3}}=4^2=16$$ ধাপ 2: $(625{)}^{\frac{1}{2}}$ এর মান নির্ণয় $$(625{)}^{\frac{1}{2}}=\sqrt{625}=25$$ ধাপ 3: সমীকরণে মান বসানো $$(64{)}^{\frac{2}{3}}+(625{)}^{\frac{1}{2}}=16+25=41$$ $$3K=41$$ $$K=\frac{41}{3}$$ সুতরাং, $K$ এর মান হলো: $$\boxed{{\displaystyle 13\frac{2}{3}}}$$

ব্যাখ্যাঃ এই সংখ্যাগুলোর মান নির্ণয় করে তুলনা করব।

ধাপ 1: সংখ্যাগুলোর মান নির্ণয়
- ক: $0.3$
- খ: $\sqrt{0.3}\approx 0.5477$
- গ: $\frac{1}{3}\approx 0.3333$
- ঘ: $\frac{2}{5}=0.4$

ধাপ 2: সংখ্যাগুলো তুলনা
সংখ্যাগুলোকে মানের ভিত্তিতে সাজালে: $$0.3<0.3333<0.4<0.5477$$ অর্থাৎ: $$0.3<\frac{1}{3}<\frac{2}{5}<\sqrt{0.3}$$ ধাপ 3: ক্ষুদ্রতম সংখ্যা নির্ণয়
উপরের তুলনা থেকে দেখা যাচ্ছে যে $0.3$ হলো ক্ষুদ্রতম সংখ্যা।

সুতরাং, ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হলো: $$\boxed{{\displaystyle \text{কঃ }0.3}}$$

ব্যাখ্যাঃ "মেহেতু z < 0; সেহেতু z একটি ঋণাত্মক সংখ্যা।
দেওয়া আছে,
x > y সুতরাং, xz < yz [ ঋণাত্মককে z দ্বারা গুণ করুন]
z একটি ঋণাত্মক সংখ্যা বলে z দ্বারা ঋণাত্মককে গুণ করায় > চিহ্ন পরিবর্তিত হয়ে < চিহ্ন হয়েছে।"

ব্যাখ্যাঃ আমরা লগারিদমের গুণনীয়কের সূত্র প্রয়োগ করে \(loga(\frac{m}{n})\)-এর মান বের করতে পারি। সূত্রটি হলো: \[ loga\left(\frac{m}{n}\right) = loga(m) - loga(n) \] তাহলে, \[ loga(\frac{m}{n}) = loga(m) - log_a(n) \] এটি হলো চূড়ান্ত উত্তর।

ব্যাখ্যাঃ

ধরি, মিনারের উচ্চতা = $x$ মিটার
পাশের চিত্রানুযায়ী,
$\tan {30}^{\circ }=\frac{AB}{BC}$
⇒ $\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{x}{20}$
⇒ $x=\frac{20}{\sqrt{3}}$

অতএব, মিনারের উচ্চতা = $\frac{20}{\sqrt{3}}$ মিটার।

ব্যাখ্যাঃ $$\mathrm{১}\mathrm{৩}\frac{\mathrm{৩}}{\mathrm{৪}}\mathrm{\%}=\frac{\mathrm{৫}\mathrm{৫}}{\mathrm{৪}}\mathrm{\%}=\frac{\frac{\mathrm{৫}\mathrm{৫}}{\mathrm{৪}}}{\mathrm{১}\mathrm{০}\mathrm{০}}=\frac{\mathrm{৫}\mathrm{৫}}{\mathrm{৪}}\mathrm{\times }\frac{\mathrm{১}}{\mathrm{১}\mathrm{০}\mathrm{০}}=\frac{\mathrm{১}\mathrm{১}}{\mathrm{৮}\mathrm{০}}$$

ব্যাখ্যাঃ $${36.2}^{3x-8}=3^2$$ $$\Rightarrow 2^{3x-8}=\frac{9}{36}$$ $$\Rightarrow \frac{2^{3x}}{2^8}=\frac{1}{4}$$ $$\Rightarrow 2^{3x}=\frac{2^8}{4}$$ $$\Rightarrow 2^{3x}=\frac{2^8}{2^2}$$ $$\Rightarrow 2^{3x}=2^{8-2}$$ $$\Rightarrow 2^{3x}=2^6$$ $$\Rightarrow 3x=6$$ $$\therefore x=2$$

ব্যাখ্যাঃ ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ।

∴ ত্রিভুজটির তৃতীয় কোণের পরিমাণ = ১৮০° - (৫৫° + ৩৫°) = ৯০°

∴ ত্রিভুজটি সমকোণী।

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সমীকরণটি হলো:

$(x-y,3)=(0,x+2y)$

এখন দুই পৃষ্ঠার সমান উপাদান তুলনা করে সমাধান করি।
১. প্রথম উপাদান থেকে পাই: $$x-y=0$$ তাহলে, $$x=y$$ ২. দ্বিতীয় উপাদান থেকে পাই: $$3=x+2y$$ $x=y$ হলে, সমীকরণে $x$-এর পরিবর্তে $y$ বসাই: $$3=y+2y$$ $$3=3y$$ $$y=1$$ ৩. $y=1$ হলে, $x=y$ থেকে: $$x=1$$ চূড়ান্ত উত্তর: $(x,y)=(1,1)$

ব্যাখ্যাঃ আমরা $\frac{x}{y}$-এর সাথে একটি সংখ্যা যোগ করে যোগফল $\frac{y}{x}$ করতে চাই। ধরে নিই, যোগ করা সংখ্যাটি হল $k$।

তাহলে, সমীকরণটি হবে: $$\frac{x}{y}+k=\frac{y}{x}$$ এখন $k$-এর মান নির্ণয় করি। $$k=\frac{y}{x}-\frac{x}{y}$$ লসাগু $xy$-এর সাহায্যে ভগ্নাংশগুলোর বিয়োগ করি: $$k=\frac{y^2-x^2}{xy}$$

ব্যাখ্যাঃ ধরি, আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য $l$ এবং প্রস্থ $b$।
প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী,
$$b=\frac{2}{3}l$$ এবং পরিসীমা $P=40$।

পরিসীমার সূত্র হলো: $$P=2(l+b)$$ এখন মানগুলো বসাই: $$40=2(l+\frac{2}{3}l)$$ $$40=2\left(\frac{3l+2l}{3}\right)$$ $$40=2\cdot \frac{5l}{3}$$ $$40=\frac{10l}{3}$$ $$l=\frac{40\cdot 3}{10}=12$$ এখন, প্রস্থ বের করি: $$b=\frac{2}{3}l=\frac{2}{3}\cdot 12=8$$ অতএব, ক্ষেত্রফল: $$\text{ক্ষেত্রফল}=l\cdot b=12\cdot 8=96{\text{মিটার}}^2$$ ঘরটির ক্ষেত্রফল $96{\text{মিটার}}^2$।

ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি, ঘনকের আয়তন $a^3$ (যেখানে $a$ হলো ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য)।
এখন গলানো ঘনকগুলোর মোট আয়তন যোগ করে নতুন ঘনকের বাহু নির্ণয় করব।

ধাপ ১: প্রতিটি ঘনকের আয়তন বের করা
- প্রথম ঘনকের বাহু ৩ সে.মি., তাই আয়তন: $$3^3=27\text{কিউবিক সেন্টিমিটার}$$ - দ্বিতীয় ঘনকের বাহু ৪ সে.মি., তাই আয়তন: $$4^3=64\text{কিউবিক সেন্টিমিটার}$$ - তৃতীয় ঘনকের বাহু ৫ সে.মি., তাই আয়তন: $$5^3=125\text{কিউবিক সেন্টিমিটার}$$ ধাপ ২: মোট আয়তন যোগ করা
তিনটি ঘনকের মোট আয়তন: $$27+64+125=216\text{কিউবিক সেন্টিমিটার}$$ ধাপ ৩: নতুন ঘনকের বাহু নির্ণয়
নতুন ঘনকের আয়তনও $216\text{কিউবিক সেন্টিমিটার}$। আমরা জানি: $$a^3=216$$ এখন, $a$-এর মান বের করতে বর্গমূলের প্রয়োগ করি: $$a=\sqrt[3]{216}=6$$ চূড়ান্ত উত্তর:
নতুন ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য হবে $6\text{সেন্টিমিটার}$।

ব্যাখ্যাঃ $$x^2-8x-8y+16+y^2$$ $$=x^2+(-4{)}^2+y^2+2\cdot x\cdot (-4)+2\cdot (-4)\cdot y+2xy-2xy$$ $$=(x-4+y{)}^2-2xy$$ সুতরাং, পূর্ণ বর্গে রূপান্তর করতে $2xy$ যোগ করতে হবে।

ব্যাখ্যাঃ ধাপ ১: প্রতি মিনিটে ঘূর্ণন সংখ্যা
চাকাটি প্রতি মিনিটে $90$ বার ঘোরে।

ধাপ ২: প্রতি সেকেন্ডে ঘূর্ণন সংখ্যা নির্ণয়
এক মিনিটে $60$ সেকেন্ড, তাই প্রতি সেকেন্ডে ঘূর্ণন সংখ্যা: $$\frac{90}{60}=1.5$$ ধাপ ৩: একবার সম্পূর্ণ ঘূর্ণন মানে ${360}^{\circ }$
তাহলে, প্রতি সেকেন্ডে চাকাটি ঘুরবে: $$1.5\times {360}^{\circ }={540}^{\circ }$$ চূড়ান্ত উত্তর:
১ সেকেন্ডে চাকাটি ${540}^{\circ }$ ঘুরবে।

ব্যাখ্যাঃ

$$AB||CD$$ $$এবংAC=BD$$ $$এবং\angle A=90°$$

ব্যাখ্যাঃ ক. $\frac{৫}{৬}=০.৮৩$
খ. $\frac{১২}{১৫}=০.৮$
গ. $\frac{১১}{১৪}\approx ০.৭৯$ (ক্ষুদ্রতম)
ঘ. $\frac{১৭}{২১}\approx ০.৮১$

ব্যাখ্যাঃ ধরি, পরপর তিনটি সংখ্যা হলো $x-1$, $x$, এবং $x+1$। তাহলে তাদের গুণফল দেওয়া আছে: $$(x-1)\cdot x\cdot (x+1)=120$$ এটি একটি গুণফল সূত্র যেখানে $x-1,x,x+1$ হলো ধারাবাহিক তিনটি সংখ্যা। এখানে $(x-1)(x)(x+1)$ হলো ক্রমিক গুণনীয়ক: $$x(x^2-1)=120$$ সরল করলে পাই: $$x^3-x=120$$ এখন আমরা $x$-এর মান বের করি। ধারণা করা যায় $x=5$, কারণ: $$5^3-5=125-5=120$$ তাহলে, সংখ্যাগুলো হলো $5-1=4$, $5$, এবং $5+1=6$। এদের যোগফল হবে: $$4+5+6=15$$ চূড়ান্ত উত্তর:
পরপর তিনটি সংখ্যার যোগফল হলো $15$।

ব্যাখ্যাঃ $০.৪৭\dot{৭}$ নির্দেশ করে যে, এটি একটি পুনরাবর্তিত দশমিক সংখ্যা যেখানে $৭$ পুনরাবৃত্তি হচ্ছে। একে সাধারণ ভগ্নাংশে পরিণত করার ধাপগুলো নিম্নরূপ:

১. ধরি, $x=০.৪৭৭৭...$ (পুনরাবৃত্তি আছে)।
২. $x$-এর পুনরাবৃত্তি দূর করতে $১০$ দিয়ে গুণ করি: $10x=4.7777...$
৩. পুনরায় $১০$ দিয়ে গুণ করি: $100x=47.7777...$
৪. দুইটি সমীকরণ থেকে বিয়োগ করি: $$100x-10x=47.7777...-4.7777...$$ $$90x=43$$ ৫. $x$-এর মান নির্ণয়: $$x=\frac{43}{90}$$ চূড়ান্ত উত্তর: $০.৪৭\dot{৭}=\frac{43}{90}$।

ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি যে লগারিদমের মূল সূত্র অনুসারে: \[ loga(b) = c \implies a^c = b \] এখানে, \(log2(8) = c\) হলে: $$2^c=8$$ আমরা জানি $8=2^3$, সুতরাং: $$2^c=2^3$$ এখন ভিত্তি একই হলে সহগও সমান হয়: $$c=3$$ $lo{g}_2(8)=3$।

ব্যাখ্যাঃ $x^3+x^{2}y$ এবং $x^{2}y+x{y}^2$-এর ল.সা.গু নির্ণয় করতে হলে আমরা তাদের গুণনীয়কগুলো নির্ণয় করে সাধারণ গুণনীয়ক বের করব।

১. প্রথম বহুপদী: $$x^3+x^{2}y=x^2(x+y)$$ ২. দ্বিতীয় বহুপদী: $$x^{2}y+x{y}^2=xy(x+y)$$ এখন $x^3+x^{2}y$ এবং $x^{2}y+x{y}^2$-এর সাধারণ গুণনীয়ক খুঁজতে হলে $x^2$, $xy$, এবং $(x+y)$ মিলিত বহুগুণ বের করতে হবে। তাদের ল.সা.গু হবে: $$x^{2}y(x+y)$$ ল.সা.গু হলো $x^{2}y(x+y)$।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, ঘরের প্রস্থ $b$ মিটার এবং দৈর্ঘ্য $l=b+4$ মিটার।

আমরা জানি, আয়তাকার ঘরের পরিসীমার সূত্র হলো: $$P=2(l+b)$$ প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী: $$32=2((b+4)+b)$$ এখন সমীকরণটি সরল করি: $$32=2(2b+4)$$ $$32=4b+8$$ $$4b=32-8$$ $$4b=24$$ $$b=6$$ তাহলে, প্রস্থ $b=6$ মিটার। এখন দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি: $$l=b+4=6+4=10$$ উত্তর: ঘরের দৈর্ঘ্য $10$ মিটার।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, সমবাহু ত্রিভুজের প্রাথমিক বাহুর দৈর্ঘ্য $a$। সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্র হলো: $$\text{ক্ষেত্রফল}=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$$ প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য $2$ মিটার বৃদ্ধি পেলে নতুন বাহুর দৈর্ঘ্য হবে $a+2$, এবং নতুন ক্ষেত্রফল হবে: $$\text{নতুন ক্ষেত্রফল}=\frac{\sqrt{3}}{4}(a+2{)}^2$$ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধির পরিমাণ হলো $3\sqrt{3}$: $$\text{নতুন ক্ষেত্রফল}-\text{প্রাথমিক ক্ষেত্রফল}=3\sqrt{3}$$ এখন মান বসাই: $$\frac{\sqrt{3}}{4}(a+2{)}^2-\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2=3\sqrt{3}$$ $$\frac{\sqrt{3}}{4}((a+2{)}^2-a^2)=3\sqrt{3}$$ সরল করি: $$(a+2{)}^2-a^2=12$$ বর্গ সূত্র প্রয়োগ করি: $$a^2+4a+4-a^2=12$$ $$4a+4=12$$ $$4a=12-4$$ $$4a=8⟹a=2$$ উত্তর: সমবাহু ত্রিভুজের প্রাথমিক বাহুর দৈর্ঘ্য হলো $2\text{মিটার}$।

ব্যাখ্যাঃ আমরা সমাধান ধাপে ধাপে করব: প্রদত্ত $x-\frac{1}{x}=7$। আমাদের নির্ণয় করতে হবে $x^3-\frac{1}{x^3}$-এর মান। আমরা জানি যে সূত্র: $$x^3-\frac{1}{x^3}={(x-\frac{1}{x})}^3+3(x-\frac{1}{x})$$ এখন $x-\frac{1}{x}=7$-এর মান ব্যবহার করি: $$x^3-\frac{1}{x^3}=7^3+3\cdot 7$$ $7^3=343$ এবং $3\cdot 7=21$, তাই: $$x^3-\frac{1}{x^3}=343+21=364$$ উত্তর: $x^3-\frac{1}{x^3}=364$।

ব্যাখ্যাঃ সেট $A=\{x\in \mathbb{N}:x^2>8,x^3<30\}$ এর শর্ত অনুযায়ী $x$ এমন একটি স্বাভাবিক সংখ্যা যা দুইটি শর্ত পূরণ করে:

১. $x^2>8$
২. $x^3<30$
ধাপ ১: $x^2>8$-এর জন্য $x$ নির্ণয়
$x^2>8$ হলে $x$ এর মান হতে পারে: $$x>\sqrt{8}\approx 2.828$$ তাহলে, $x\ge 3$ (যেহেতু $x$ একটি স্বাভাবিক সংখ্যা)।
ধাপ ২: $x^3<30$-এর জন্য $x$ নির্ণয়
$x^3<30$ হলে $x$ এর মান হতে পারে: $$x<\sqrt[3]{30}\approx 3.107$$ তাহলে, $x\le 3$।

ধাপ ৩: দুই শর্ত একত্রিত করা
উভয় শর্ত $x\ge 3$ এবং $x\le 3$ পূরণ করতে হলে: $$x=3$$ উত্তর: সেট $A$-এর জন্য $x=3$।

ব্যাখ্যাঃ যখন $a+b+c=0$, তখন একটি গুরুত্বপূর্ণ গাণিতিক পরিচিতি অনুযায়ী: $$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$$ এখানে $a+b+c=0$, সুতরাং উপরের সমীকরণটি হয়: $$a^3+b^3+c^3-3abc=0$$ অতএব, $$a^3+b^3+c^3=3abc$$ সুতরাং, $a+b+c=0$ হলে, $a^3+b^3+c^3$-এর মান হয় $3abc$।

ব্যাখ্যাঃ ৪০ থেকে ১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা হলো:

ক্ষুদ্রতম: ৪১
বৃহত্তম: ৯৭
এখন, তাদের অন্তর গণনা করি: $$৯৭-৪১=৫৬$$ সুতরাং, ৪০ থেকে ১০০ পর্যন্ত বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যার অন্তর হলো ৫৬।

ব্যাখ্যাঃ মোট আমের সংখ্যা ছিল ১৮০। দুই দিন পর ৯টি আম পচে গেছে। তাহলে ভালো থাকা আমের সংখ্যা হলো: $$১৮০-৯=১৭১$$ ভালো থাকা আমের শতকরা হার নির্ণয় করি: $$\text{ভালো আমের শতকরা হার}=(\frac{ভালোআম}{মোটআম}\times ১০০)$$ $$=(\frac{১৭১}{১৮০}\times ১০০)$$ $$=৯৫\mathrm{\%}।$$ সুতরাং, শতকরা ৯৫% আম ভালো আছে।

ব্যাখ্যাঃ ১ কোটি = ১০ মিলিয়ন, সুতরাং
৯ কোটি = $৯\times ১০\text{মিলিয়ন}=৯০\text{মিলিয়ন}$।

উত্তর: ঘঃ ৯০ মিলিয়ন।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, বইয়ের মূল্য $x$ টাকা।
তাহলে, কলমের মূল্য হবে $x-৭$ টাকা।
উভয়ের মূল্য মোট ৪৩ টাকা দেওয়া আছে, তাই $$x+(x-৭)=৪৩$$ $$২x-৭=৪৩$$ $$২x=৪৩+৭$$ $$২x=৫০$$ $$x=\frac{৫০}{২}=২৫$$ সুতরাং, বইয়ের মূল্য $২৫$ টাকা এবং কলমের মূল্য $২৫-৭=১৮$ টাকা।
তাহলে, কলমের মূল্য ১৮ টাকা।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, সংখ্যাটির দশমিক অঙ্ক $x$ এবং একক অঙ্ক $y$।
তাহলে সংখ্যাটি হবে: $10x+y$।
অঙ্কদ্বয় স্থান পরিবর্তন করলে সংখ্যা হবে: $10y+x$।

প্রশ্ন অনুসারে, $$(10y+x)-(10x+y)=63$$ $$10y+x-10x-y=63$$ $$9y-9x=63$$ $$9(y-x)=63$$ $$y-x=\frac{63}{9}=7$$ সুতরাং, সংখ্যাটির অঙ্কদ্বয়ের পার্থক্য হলো ৭।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, পাত্রটির ওজন $x$ কেজি এবং তেলের সম্পূর্ণ পরিমাণের ওজন $y$ কেজি।

তাহলে, তেলপূর্ণ পাত্রের ওজন হবে: $$x+y=৩২$$ অর্ধেক তেলপূর্ণ পাত্রের ওজন হবে: $$x+\frac{y}{2}=২০$$ এখন এই দুটি সমীকরণ থেকে সমাধান করি: প্রথম সমীকরণ: $$x+y=৩২...(১)$$ দ্বিতীয় সমীকরণ: $$x+\frac{y}{2}=২০...(২)$$ সমীকরণ (২) থেকে $x$-এর মান বের করি: $$x=২০-\frac{y}{2}...(৩)$$ এখন সমীকরণ (৩) -এর মান সমীকরণ (১)-এ বসাই: $$(২০-\frac{y}{2})+y=৩২$$ $$২০+\frac{y}{2}=৩২$$ $$\frac{y}{2}=৩২-২০$$ $$\frac{y}{2}=১২$$ $$y=১২\times ২=২৪$$ তেলের ওজন $y=২৪$ কেজি। এখন $x+y=৩২$-এ $y=২৪$ বসাই: $$x+২৪=৩২$$ $$x=৩২-২৪=৮$$ সুতরাং, পাত্রটির ওজন ৮ কেজি।