ব্যাখ্যাঃ আমরা ধাপে ধাপে সমস্যাটির সমাধান করবো। ### ধাপ ১: প্রশ্নটি বিশ্লেষণ আমাদের বলা হয়েছে: $$30\mathrm{\%}\text{ of }10=10\mathrm{\%}\text{ of }X$$ এখানে, $X$ নির্ণয় করতে হবে। ### ধাপ ২: ৩০% এর মান নির্ণয় করা $$30\mathrm{\%}\text{ of }10=\frac{30}{100}\times 10=3$$ ### ধাপ ৩: সমীকরণ তৈরি করা $$3=10\mathrm{\%}\text{ of }X$$ $$3=\frac{10}{100}\times X$$ ### ধাপ ৪: $X$ এর মান নির্ণয় করা $$X=\frac{3\times 100}{10}$$ $$X=\frac{300}{10}=30$$ ### উত্তর: অর্থাৎ, ৩০% এর ১০ হলো ১০% এর ৩০। ✅

ব্যাখ্যাঃ ধরি, পন্যটির শুরুমুল্য ছিল ১০০ টাকা।
২৫% বাড়ানোর পর মূল্য হয় = ১০০ + (২৫/১০০) ১০০ = ১২৫ টাকা।
এখন, এই বর্ধিত মূল্য থেকে ২৫% কমানো হলো। অর্থাৎ, ১২৫ টাকার ২৫% কমালে নতুন মূল্য হবে:
১২৫ - (২৫/১০০) ১২৫ = ১২৫ - ৩১.২৫ = ৯৩.৭৫ টাকা।
সুতরাং, সর্বশেষ মূল্য হলো ৯৩.৭৫ টাকা।
এখন, শুরুমূল্য ছিল ১০০ টাকা এবং সর্বশেষ মূল্য হলো ৯৩.৭৫ টাকা। অতএব, মূল্য কমেছে:
১০০ - ৯৩.৭৫ = ৬.২৫ টাকা।
যেহেতু শুরুমুল্য ছিল ১০০ টাকা, তাই শতকরা হিসেবে মূল্য কমেছে ৬.২৫%।
অতএব, সর্বশেষ মূল্য সর্বপ্রথম মূল্যের তুলনায় ৬.২৫% কম।

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে আমরা শতকরা ৪০ ভাগ শার্ট সংখ্যা নির্ণয় করব: $$\text{শার্টের সংখ্যা}=১৫\times \frac{৪০}{১০০}=৬$$ তাহলে, ১৫টি পোশাকের মধ্যে ৬টি শার্ট আছে।

অতএব, শার্ট নয় এমন পোশাকের সংখ্যা হবে: $$১৫-৬=৯$$ তাহলে, ১৫টি পোশাকের মধ্যে ৯টি পোশাক শার্ট নয়।

ব্যাখ্যাঃ চালের দাম ২৫% বেড়ে গেলে এবং সাংসারিক ব্যয় অপরিবর্তিত রাখতে হলে চালের ব্যবহার কত শতাংশ কমাতে হবে তা নির্ণয় করতে হবে। ধরি: - চালের প্রাথমিক দাম = $P$ টাকা - চালের প্রাথমিক ব্যবহার = $Q$ একক - সাংসারিক ব্যয় = $E=P\times Q$ দাম বৃদ্ধির পর: - নতুন দাম = $P+0.25P=1.25P$ টাকা - নতুন ব্যবহার = $Q^{\prime }$ একক - সাংসারিক ব্যয় অপরিবর্তিত থাকলে: $$1.25P\times Q^{\prime }=P\times Q$$ $$Q^{\prime }=\frac{P\times Q}{1.25P}=\frac{Q}{1.25}=0.8Q$$ ব্যবহার কমার পরিমাণ: $$Q-Q^{\prime }=Q-0.8Q=0.2Q$$ শতকরা ব্যবহার কমার পরিমাণ: $$\frac{0.2Q}{Q}\times 100\mathrm{\%}=20\mathrm{\%}$$ উত্তর: $$\boxed{{\displaystyle ২০\mathrm{\%}}}$$

ব্যাখ্যাঃ আমরা নির্ণয় করব $\frac{১}{২}$ এর শতকরা কত $\frac{৩}{৪}$ হবে। নিয়ম অনুযায়ী, শতকরা বের করার জন্য— $$\left(\frac{\text{প্রাপ্ত মান}}{\text{মূল মান}}\right)\times ১০০$$ এখানে, মূল মান = $\frac{১}{২}$ প্রাপ্ত মান = $\frac{৩}{৪}$ $$\left(\frac{\frac{৩}{৪}}{\frac{১}{২}}\right)\times ১০০$$ ভাগ করলে পাই— $$(\frac{৩}{৪}\times \frac{২}{১})\times ১০০=\left(\frac{৩\times ২}{৪\times ১}\right)\times ১০০$$ $$=\left(\frac{৬}{৪}\right)\times ১০০=১.৫\times ১০০=১৫০\mathrm{\%}$$ উত্তর: ১৫০%

ব্যাখ্যাঃ ধরি, প্রাথমিক তেলের দাম প্রতি লিটার $P$ টাকা এবং ব্যবহার $Q$ লিটার। তেলের দাম ২৫% বৃদ্ধি পেয়েছে, অর্থাৎ বর্তমান দাম প্রতি লিটার $1.25P$ টাকা হয়েছে। ধরি, নতুন তেলের ব্যবহার $Q^{\prime }$ লিটার। তেল বাবদ খরচ বৃদ্ধি না পেতে হলে নতুন তেলের ব্যবহার এমন হতে হবে যাতে খরচ অপরিবর্তিত থাকে। প্রথমে, প্রাথমিক খরচ: $$\text{প্রাথমিক খরচ}=P\times Q$$ বর্তমান খরচ সমান হতে হবে: $$\text{বর্তমান খরচ}=1.25P\times Q^{\prime }=P\times Q$$ এখন, $Q^{\prime }$ নির্ণয় করতে: $$Q^{\prime }=\frac{P\times Q}{1.25P}=\frac{Q}{1.25}=\frac{Q}{\frac{5}{4}}=Q\times \frac{4}{5}$$ তাহলে, তেলের ব্যবহার কমেছে: $$Q-Q^{\prime }=Q-Q\times \frac{4}{5}=Q\times (1-\frac{4}{5})=Q\times \frac{1}{5}$$ শতকরা হারে কমানোর মান নির্ণয় করতে: $$\frac{\frac{Q}{5}}{Q}\times 100=\frac{1}{5}\times 100=20\mathrm{\%}$$ তাহলে, তেলের ব্যবহার ২০% কমালে, তেল বাবদ খরচ বৃদ্ধি পাবে না।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, স্কুলে মোট শিক্ষার্থী সংখ্যা $N$।

আমরা জানি যে:
- ৭০% শিক্ষার্থী ইংরেজিতে পাস করেছে। - ৮০% শিক্ষার্থী বাংলায় পাস করেছে। - ১০% শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করেছে। - উভয় বিষয়ে ৩০০ জন শিক্ষার্থী পাস করেছে।

যারা উভয় বিষয়ে পাস করেছে তাদের সংখ্যা $P$ হলে: $$0.70N+0.80N-P=0.90N$$ কারণ, ১০% শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করেছে, অর্থাৎ ৯০% শিক্ষার্থী এক বা দুই বিষয়ে পাস করেছে।

এখন, $0.70N+0.80N-P=0.90N$ কে ব্যবহার করে $P$ নির্ণয় করি: $$1.50N-P=0.90N$$ $$P=1.50N-0.90N$$ $$P=0.60N$$ আমাদের দেওয়া হয়েছে যে $P=৩০০$: $$0.60N=৩০০$$ $$N=\frac{৩০০}{0.60}$$ $$N=৫০০$$ তাহলে, ঐ স্কুলে মোট শিক্ষার্থী পরীক্ষা দিয়েছে ৫০০ জন।

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে আমরা জানি যে, মূল মিশ্রণে ২৫% বালি আছে এবং ৬৪ কিলোগ্রাম মিশ্রণের মধ্যে বালির পরিমাণ: $$\frac{২৫}{১০০}\times ৬৪=১৬\text{ কিলোগ্রাম}$$ তাহলে, পাথরের পরিমাণ: $$৬৪-১৬=৪৮\text{ কিলোগ্রাম}$$ এখন আমরা ধরি যে $x$ কিলোগ্রাম বালি মেশানো হবে যাতে মিশ্রণে পাথরের পরিমাণ ৪০% হয়। নতুন মিশ্রণের মোট পরিমাণ হবে: $$৬৪+x\text{ কিলোগ্রাম}$$ নতুন মিশ্রণে ৪৮ কিলোগ্রাম পাথর থাকবে, যা ৪০% হবে। তাহলে নতুন মিশ্রণের ৬০% হবে বালি এবং মোট পরিমাণে ৪০% হবে পাথর: $$\frac{৪৮}{৬৪+x}=\frac{৪০}{১০০}$$ এখন, সমীকরণটি সমাধান করি: $$৪৮=০.৪\times (৬৪+x)$$ $$৪৮=২৫.৬+০.৪x$$ $$৪৮-২৫.৬=০.৪x$$ $$২২.৪=০.৪x$$ $$x=\frac{২২.৪}{০.৪}$$ $$x=৫৬\text{ কিলোগ্রাম}$$ অতএব, নতুন মিশ্রণে পাথরের পরিমাণ ৪০% করতে ৫৬ কিলোগ্রাম বালি মিশাতে হবে।

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে, আমরা এককালীন ৪০% কমতি এবং পর পর ৩৬% ও ৪% কমতির পরিমাণ গণনা করব এবং তারপর তাদের পার্থক্য নির্ণয় করব।

১. এককালীন ৪০% কমতি:
১০,০০০ টাকার ওপর ৪০% কমতি: $$\text{কমতি}=১০,০০০\times \frac{৪০}{১০০}=৪,০০০\text{ টাকা}$$ ২. পর পর ৩৬% ও ৪% কমতি:
প্রথমে ৩৬% কমতি: $$\text{প্রথম কমতি}=১০,০০০\times \frac{৩৬}{১০০}=৩,৬০০\text{ টাকা}$$ $$\text{প্রথম কমতির পর অবশিষ্ট}=১০,০০০-৩,৬০০=৬,৪০০\text{ টাকা}$$ তারপর ৪% কমতি: $$\text{দ্বিতীয় কমতি}=৬,৪০০\times \frac{৪}{১০০}=২৫৬\text{ টাকা}$$ $$\text{মোট কমতি}=৩,৬০০+২৫৬=৩,৮৫৬\text{ টাকা}$$ ৩. পার্থক্য:
$$\text{পার্থক্য}=৪,০০০-৩,৮৫৬=১৪৪\text{ টাকা}$$ অতএব, এককালীন ৪০% কমতি এবং পর পর ৩৬% ও ৪% কমতির পার্থক্য ১৪৪ টাকা।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, পরিবারের পূর্বের চিনির মূল্য প্রতি কেজি $100$ টাকা।

চিনির মূল্য ২৫% বৃদ্ধি পাওয়াতে নতুন মূল্য হলো $100+25=125$ টাকা প্রতি কেজি।

ধরি, পূর্বের চিনি খাওয়ার পরিমাণ ছিল $x$ কেজি এবং বর্তমান চিনি খাওয়ার পরিমাণ হলো $y$ কেজি।

পরিবারের ব্যয় অপরিবর্তিত থাকায়, খরচ আগে এবং পরে একই থাকবে।

অতএব, $$100x=125y$$ $$y=\frac{100x}{125}$$ $$y=\frac{4x}{5}$$ তাহলে পরিবার চিনি খাওয়া কমিয়েছে: $$x-y=x-\frac{4x}{5}$$ $$=\frac{5x-4x}{5}$$ $$=\frac{x}{5}$$ তাহলে শতকরা হারে কমানো হলো: $$\frac{\frac{x}{5}}{x}\times 100$$ $$=\frac{1}{5}\times 100$$ $$=20\mathrm{\%}$$ অতএব, পরিবারটি চিনি খাওয়া বাবদ ২০% কমিয়েছে।

ব্যাখ্যাঃ ১২% কমে যাওয়ায় ৬,০০০ টাকায় আগের চেয়ে ১ কুইন্টাল বেশি চাল পাওয়া যায়।

অর্থাৎ ১ কুইন্টাল চাল এর মূল্য ৬,০০০ টাকার ১২%।

৬,০০০ টাকার ১২% = ৬০০০×১২/১০০ = ৭২০ টাকা

ব্যাখ্যাঃ ধরি, খ এর বেতন ১০০ টাকা $$\therefore \text{ক এর বেতন}=১৩৫\text{ টাকা}$$ $$\therefore ১৩৫\text{ টাকায় বেতন কম}=৩৫\text{ টাকা}$$ $$\therefore ১০০\text{ টাকায় বেতন কম}=\frac{(৩৫\times ১০০)}{১৩৫}\text{ টাকা}$$ $$=২৫.৯২৫৯\text{ টাকা}\approx ২৫.৯৩\text{ টাকা}$$

ব্যাখ্যাঃ ২৫% বৃদ্ধিতে বর্তমান মূল্য = (১০০ + ২৫) = ১২৫ টাকা

বর্তমানমূল্য ১২৫ টাকা হলে পূর্ব মূল্য = ১০০ টাকা
" ১০০ " " " " $\frac{১০০\times ১০০}{১২৫}$ = ৮০ টাকা

দ্রব্যের ব্যবহার কমাতে হবে = (১০০ - ৮০) = ২০ টাকা

ব্যাখ্যাঃ ধরি, মোট প্রশ্নের সংখ্যা $k$।

প্রথম ২০টির মধ্যে ১৫টি নির্ভুল উত্তর দেওয়া হয়েছে। বাকি প্রশ্নের সংখ্যা হবে $k-২০$।

বাকি প্রশ্নগুলির মধ্যে $\frac{১}{৩}$ অংশ নির্ভুল উত্তর দেওয়া হয়েছে: $$\frac{১}{৩}(k-২০)$$ মোট নির্ভুল উত্তর দেওয়া প্রশ্নের সংখ্যা হবে: $$১৫+\frac{১}{৩}(k-২০)$$ এখন, ছাত্রটি মোট $k$ সংখ্যক প্রশ্নের মধ্যে ৭৫% উত্তর সঠিক দিয়েছে। তাই: $$75\mathrm{\%}=\frac{৭৫}{১০০}=\frac{৩}{৪}$$ তাহলে, ছাত্রটি মোট $\frac{৩}{৪}k$ প্রশ্ন নির্ভুল উত্তর দিয়েছে।

তাহলে সমীকরণ হবে: $$15+\frac{১}{৩}(k-20)=\frac{3}{4}k$$ এখন সমীকরণটি সমাধান করি: $$15+\frac{১}{৩}k-\frac{২০}{৩}=\frac{৩}{৪}k$$ $$15-\frac{২০}{৩}+\frac{১}{৩}k=\frac{৩}{৪}k$$ $$\frac{৪৫}{৩}-\frac{২০}{৩}+\frac{১}{৩}k=\frac{৩}{৪}k$$ $$\frac{২৫}{৩}+\frac{১}{৩}k=\frac{৩}{৪}k$$ $$\frac{২৫}{৩}=\frac{৩}{৪}k-\frac{১}{৩}k$$ $$\frac{২৫}{৩}=\frac{৯k-৪k}{১২}$$ $$\frac{২৫}{৩}=\frac{৫k}{১২}$$ $$25\times 12=5k\times 3$$ $$300=15k$$ $$k=\frac{300}{15}$$ $$k=20$$ অতএব, প্রশ্নের সংখ্যা ছিল 20।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, করিম সাহেবের মাসিক বেতন $x$ টাকা। প্রভিডেন্ট ফান্ডের জন্য শতকরা ১০ ভাগ কর্তনের পর তার হাতে থাকে ২৭০০ টাকা।

তাহলে, তার হাতে থাকা বেতনের মান হবে: $$x-\frac{10}{100}x=2700$$ এখন সরল করি: $$x(1-\frac{10}{100})=2700$$ $$x\cdot \frac{90}{100}=2700$$ $$\frac{9x}{10}=2700$$ এখন $x$-এর মান নির্ণয় করি: $$x=\frac{2700\cdot 10}{9}=3000$$ উত্তর: করিম সাহেবের মাসিক বেতন $3000$ টাকা।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, সেই সংখ্যা হলো $x$।

প্রশ্ন অনুসারে: $$\frac{30}{100}x-30=30$$ এখন সমীকরণটি সরল করি: $$\frac{30}{100}x=30+30$$ $$\frac{30}{100}x=60$$ $x$-এর মান নির্ণয় করতে: $$x=\frac{60\times 100}{30}$$ $$x=200$$ উত্তর: সংখ্যাটি হলো $200$।

ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি, কোনো সংখ্যার ১% বের করার জন্য সংখ্যাটিকে $\frac{1}{100}$-এর সাথে গুণ করতে হয়।

$১৬\text{কোটি}=১৬,০০,০০,০০০$

এখন, $১৬,০০,০০,০০০\times \frac{1}{100}=১৬,০০,০০,০০০÷১০০=১৬,০০,০০০$

উত্তর: ১৬ কোটির ১% হলো $১৬,০০,০০০$।

ব্যাখ্যাঃ আমরা কফির দাম এবং ব্যবহারের সম্পর্কের জন্য একটি সহজ গাণিতিক পদ্ধতি ব্যবহার করব।

যেহেতু কফির দাম ১০% কমেছে, আমাদের লক্ষ্য হবে ব্যবহার বৃদ্ধি এমনভাবে করা যাতে মোট খরচ অপরিবর্তিত থাকে।

সূত্র:
যদি পণ্যের মূল্য $P$% হ্রাস পায়, তবে ব্যবহারের বৃদ্ধি $\frac{P}{100-P}\times 100$% হবে।

এখানে, $P=10$%।
তাহলে ব্যবহারের বৃদ্ধি: $$\text{বৃদ্ধি}=\frac{10}{100-10}\times 100=\frac{10}{90}\times 100$$ $$=11\frac{1}{9}\text{\%}$$ উত্তর: কফির ব্যবহার $11\frac{1}{9}\text{\%}$ বৃদ্ধি করতে হবে যাতে খরচ একই থাকে।

ব্যাখ্যাঃ ধরা যাক, সংখ্যাটি হলো $x$। তাহলে, $$৮০\mathrm{\%}\text{ of }x=৪৮$$ $$\frac{৮০}{১০০}\times x=৪৮$$ $$x=\frac{৪৮\times ১০০}{৮০}$$ $$x=\frac{৪৮০০}{৮০}=৬০$$ অতএব, ৪৮ হল ৬০-এর ৮০%।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, চাকুরিজীবীর পূর্বের বেতন ছিল $x$ টাকা। ১৫% বৃদ্ধি পেয়ে নতুন বেতন হলো ৫৭৫০ টাকা। সুতরাং, সমীকরণ হবে: $$x+\frac{১৫}{১০০}x=৫৭৫০$$ $$x(1+\frac{১৫}{১০০})=৫৭৫০$$ $$x\times ১.১৫=৫৭৫০$$ $$x=\frac{৫৭৫০}{১.১৫}=৫০০০$$ উত্তর: চাকুরিজীবীর পূর্বের বেতন ছিল ৫০০০ টাকা।

ব্যাখ্যাঃ গড় নির্ণয়ের জন্য আমরা মোট প্রাপ্ত নম্বরকে মোট ছাত্রের সংখ্যা দ্বারা ভাগ করি।

প্রথমে মোট নম্বর নির্ণয় করি:
- ১৫ জন ছাত্রের মোট নম্বর = $15\times 80=1200$
- ১০ জন ছাত্রের মোট নম্বর = $10\times 90=900$

সুতরাং, ২৫ জন ছাত্রের মোট নম্বর: $$1200+900=2100$$ এখন গড় নম্বর নির্ণয়: $$\frac{2100}{25}=84$$ সুতরাং, ২৫ জন ছাত্রের গড় শতকরা নম্বর ৮৪%।

ব্যাখ্যাঃ ধরা যাক, সংখ্যাটি $x$।
শর্ত অনুযায়ী, $x$ থেকে এর ৪০% বিয়োগ করলে ৩০ পাওয়া যায়: $$x-\frac{40}{100}x=30$$ $$x-0.4x=30$$ $$(1-0.4)x=30$$ $$0.6x=30$$ $$x=\frac{30}{0.6}=50$$ সুতরাং, সংখ্যাটি হবে ৫০।

ব্যাখ্যাঃ ধরা যাক, শেয়ারের মূল প্রাথমিক মূল্য $x$ টাকা।

প্রথম দিন:
মূল্য ২৫% বেড়েছে, অর্থাৎ নতুন মূল্য: $$x+\frac{25}{100}x=1.25x$$ দ্বিতীয় দিন:
এখন, ১.২৫x থেকে ২৫% কমানো হয়, অর্থাৎ নতুন মূল্য: $$1.25x-\frac{25}{100}\times 1.25x$$ $$1.25x-0.3125x=0.9375x$$ অতএব, প্রকৃত পরিবর্তন: $$x-0.9375x=0.0625x$$ $$\frac{0.0625x}{x}\times 100=6.25\mathrm{\%}$$ অর্থাৎ, প্রকৃত মূল্যের হ্রাস ঘটেছে ৬.২৫%।