ব্যাখ্যাঃ আমরা $3x-7y+10=0$ এবং $y-2x-3=0$-এর সমাধান বের করতে একটি সমীকরণ পদ্ধতি (substitution বা elimination) ব্যবহার করব। নিচে ধাপে ধাপে সমাধান দেওয়া হলো:

ধাপ ১: $y$-এর মান বের করা
দ্বিতীয় সমীকরণটি থেকে $y$-এর মান বের করি: $$y-2x-3=0⟹y=2x+3$$ ধাপ ২: প্রথম সমীকরণে $y$-এর মান বসানো
$y=2x+3$-কে প্রথম সমীকরণে ($3x-7y+10=0$) বসাই: $$3x-7(2x+3)+10=0$$ এখন সরল করি: $$3x-14x-21+10=0$$ $$-11x-11=0$$ ধাপ ৩: $x$-এর মান বের করা $-11x-11=0$ সমীকরণ থেকে: $$-11x=11⟹x=-1$$ ধাপ ৪: $y$-এর মান বের করা $x=-1$-কে $y=2x+3$-এ বসাই: $$y=2(-1)+3=-2+3=1$$ চূড়ান্ত উত্তর: $$x=-1\text{এবং}y=1$$ তাহলে, সমাধান হলো $x=-1$ এবং $y=1$।

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত রাশিটি হলো: $$3x^3+2x^2-21x-20$$ আমরা এই রাশিটির একটি উৎপাদক বের করতে চাই। উৎপাদক নির্ণয়ের জন্য আমরা সাধারণত উৎপাদক উপপাদ্য (Factor Theorem) ব্যবহার করি। উৎপাদক উপপাদ্য অনুসারে, যদি $(x-a)$ রাশিটির একটি উৎপাদক হয়, তবে $x=a$ বসালে রাশিটির মান শূন্য হবে, অর্থাৎ $f(a)=0$। ### ধাপ 1: সম্ভাব্য উৎপাদক নির্ণয় রাশিটির সম্ভাব্য উৎপাদকগুলি হলো ধ্রুবক পদ $-20$ এর উৎপাদকগুলিকে সর্বোচ্চ ঘাতের সহগ $3$ এর উৎপাদক দ্বারা ভাগ করে পাওয়া যায়। সম্ভাব্য উৎপাদকগুলি হলো: $$\pm 1,\pm 2,\pm 4,\pm 5,\pm 10,\pm 20,\pm \frac{1}{3},\pm \frac{2}{3},\pm \frac{4}{3},\pm \frac{5}{3},\pm \frac{10}{3},\pm \frac{20}{3}$$ ### ধাপ 2: উৎপাদক উপপাদ্য প্রয়োগ আমরা এই মানগুলিকে $x$ এ বসিয়ে দেখবো কোনটি রাশিটিকে শূন্য করে। #### $x=1$ বসিয়ে: $$f(1)=3(1{)}^3+2(1{)}^2-21(1)-20=3+2-21-20=-36\ne 0$$ $x=1$ উৎপাদক নয়। #### $x=-1$ বসিয়ে: $$f(-1)=3(-1{)}^3+2(-1{)}^2-21(-1)-20=-3+2+21-20=0$$ $x=-1$ বসালে রাশিটির মান শূন্য হয়, তাই $(x+1)$ রাশিটির একটি উৎপাদক। ### ধাপ 3: উৎপাদক নিশ্চিতকরণ যেহেতু $x=-1$ বসালে রাশিটির মান শূন্য হয়, তাই $(x+1)$ রাশিটির একটি উৎপাদক। ### উত্তর: রাশিটির একটি উৎপাদক হলো: $$\boxed{{\displaystyle x+1}}$$

ব্যাখ্যাঃ আমরা $2x^2+x-15$ এর উৎপাদন (factorization) করতে পারি। প্রথমে, আমরা $2x^2+x-15$ কে এমনভাবে বিভক্ত করতে পারি যা দুটি গুণফল থেকে সমীকরণ তৈরি হয়। ধরি, $2x^2+x-15=(ax+b)(cx+d)$ এখন, $a\times c=2$ এবং $b\times d=-15$ হওয়া প্রয়োজন। ধরি, $(2x+5)(x-3)$: $$(2x+5)(x-3)$$ $$=2x^2-6x+5x-15$$ $$=2x^2-x-15$$ এখন, আমরা ধরা হয়েছে $2x^2+x-15$ এর উৎপাদন $(2x+5)(x-3)$। সুতরাং, $2x^2+x-15$ এর উৎপাদন (factors) হল $(2x+5)(x-3)$।

ব্যাখ্যাঃ $$2x^2-x-15$$ $$=2x^2-6x+5x-15$$ $$=2x(x-3)+5(x-3)$$ $$=(2x+5)(x-3)$$

ব্যাখ্যাঃ $$a^4+4$$ $$=(a^2{)}^2+2\cdot a^2\cdot 2+2^2-2a^2\cdot 2$$ $$=(a^2+2{)}^2-(2a{)}^2$$ $$=(a^2+2+2a)(a^2+2-2a)$$ $$=(a^2+2a+2)(a^2-2a+2)$$