ব্যাখ্যাঃ ধরি, বিস্তার $x$ মিটার এবং দৈর্ঘ্য $2x$ মিটার। ঘরের ক্ষেত্রফল: $$x\times 2x=2x^2$$ আমাদের জানা আছে, ক্ষেত্রফল 512 বর্গমিটার: $$2x^2=512$$ এখন, $x^2$ বের করতে পারি: $$x^2=\frac{512}{2}=256$$ এখন $x$ এর মান নির্ণয় করতে পারি: $$x=\sqrt{256}=16$$ তাহলে, বিস্তার $x=16$ মিটার এবং দৈর্ঘ্য $2x=32$ মিটার। পরিসীমা নির্ণয়ের সূত্র: $$2\times (\text{দৈর্ঘ্য}+\text{বিস্তার})$$ পরিসীমা হবে: $$2\times (32+16)=2\times 48=96\text{ মিটার}$$ তাহলে ঘরের পরিসীমা হল 96 মিটার।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ $x$ মিটার। তাহলে দৈর্ঘ্য হবে $3x$ মিটার। ক্ষেত্রফল: $$\text{ক্ষেত্রফল}=\text{দৈর্ঘ্য}\times \text{প্রস্থ}=3x\times x=3x^2$$ প্রদত্ত ক্ষেত্রফল ৩০০ বর্গমিটার: $$3x^2=300$$ $$x^2=\frac{300}{3}=100$$ $$x=\sqrt{100}=10\text{ মিটার}$$ দৈর্ঘ্য: $$3x=3\times 10=30\text{ মিটার}$$ পরিসীমা: $$\text{পরিসীমা}=2(\text{দৈর্ঘ্য}+\text{প্রস্থ})=2(30+10)=2\times 40=80\text{ মিটার}$$ উত্তর: $$\boxed{{\displaystyle 80\text{ মিটার}}}$$

ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রদত্ত সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করব, যেখানে— - ভূমি, $b=16$ একক - প্রত্যেক বাহু, $a=10$ একক ### ধাপ ১: লম্ব উচ্চতা নির্ণয় সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রে, ভূমির লম্ব সমদ্বিখণ্ডিত হবে। তাহলে, লম্ব রেখাটি ভূমিকে দুই সমান ভাগে ভাগ করবে: $$\frac{16}{2}=8\text{ একক}$$ এখন, আমরা উচ্চতা $h$ নির্ণয়ের জন্য পাইথাগোরাস উপপাদ্য প্রয়োগ করব: $$a^2=h^2+{\left(\frac{b}{2}\right)}^2$$ $${10}^2=h^2+8^2$$ $$100=h^2+64$$ $$h^2=100-64=36$$ $$h=\sqrt{36}=6$$ ### ধাপ ২: ক্ষেত্রফল নির্ণয় ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল: $$\frac{1}{2}\times b\times h$$ $$=\frac{1}{2}\times 16\times 6$$ $$=8\times 6=48\text{ বর্গ একক}$$ ### উত্তর: ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল ৪৮ বর্গ একক

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে, আমরা প্রতি মিনিটে চাকার ঘূর্ণন সংখ্যা থেকে প্রতি সেকেন্ডে ঘূর্ণন সংখ্যা নির্ণয় করব। এক মিনিটে চাকাটি ৯০ বার ঘুরে। সুতরাং, প্রতি সেকেন্ডে চাকাটি ঘুরবে: $$\frac{৯০\text{ বার}}{৬০\text{ সেকেন্ড}}=১.৫\text{ বার}$$ এখন, প্রতি সেকেন্ডে চাকাটি কত ডিগ্রি ঘুরে তা নির্ণয় করতে, আমরা একটি সম্পূর্ণ ঘূর্ণন (৩৬০ ডিগ্রি) নিয়ে ১.৫ বার গুণ করব: $$১.৫\text{ বার}\times ৩৬০\text{ ডিগ্রি}=৫৪০\text{ ডিগ্রি}$$ তাহলে, এক সেকেন্ডে চাকাটি ৫৪০ ডিগ্রি ঘুরে।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, সরল রেখার দৈর্ঘ্য $L$।

এখন, এই রেখার উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল হবে: $$L^2$$

যদি রেখার এক চতুর্থাংশ অর্থাৎ $\frac{L}{4}$ এর ওপর বর্গ অঙ্কিত হয়, তবে সেই বর্গের ক্ষেত্রফল হবে: $${\left(\frac{L}{4}\right)}^2=\frac{L^2}{16}$$

তাহলে, প্রথম বর্গের ক্ষেত্রফল ঐ সরল রেখার এক চতুর্থাংশের ওপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফলের: $$\frac{L^2}{\frac{L^2}{16}}=16$$
অর্থাৎ, প্রথম বর্গের ক্ষেত্রফল দ্বিতীয় বর্গের ক্ষেত্রফলের ১৬ গুণ।

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে আমরা বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করব। ৫৬ ফুট ব্যাসের একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল হলো: $$\text{ক্ষেত্রফল}=\pi r^2$$ এখানে, ব্যাস $৫৬$ ফুট হলে $r$ হবে $\frac{৫৬}{২}=২৮$ ফুট।

তাহলে, $$\text{ক্ষেত্রফল}=\pi \times ২{৮}^2=\pi \times ৭৮৪\approx ২৪৬৪.৬\text{বর্গফুট}$$ এখন, একই ক্ষেত্রফলের একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হবে: $$\text{ক্ষেত্রফল}=২৪৬৪.৬\text{ বর্গফুট}$$ ধরি, বর্গক্ষেত্রের একদিকে $s$ ফুট, তবে $$s^2=২৪৬৪.৬$$ অতএব, $$s=\sqrt{২৪৬৪.৬}\approx ৪৯.৬\text{ ফুট}$$ অতএব, বর্গক্ষেত্রের যে কোনো এক দিকের দৈর্ঘ্য হবে প্রায় ৪৯.৬ ফুট।

ব্যাখ্যাঃ এই সমস্যাটি একটি সমকোণী ত্রিভূজের মাধ্যমে সমাধান করা যায়। দেয়ালের উচ্চতা এবং মইয়ের তলদেশের দূরত্ব ত্রিভুজের দুইটি পা, আর মইটি হলো ত্রিভুজের অতিভুজ।

ধরি, মইটির দৈর্ঘ্য $L$। \[ \text{অতিভুজ}^2 = \text{পা}1^2 + \text{পা}2^2 \] $$L^2=৪{০}^2+{৯}^2$$ $$L^2=১৬০০+৮১$$ $$L^2=১৬৮১$$ $$L=\sqrt{১৬৮১}$$ $$L=৪১$$ অতএব, মইটি ৪১ ফুট লম্বা।

ব্যাখ্যাঃ ধরুন, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল $A$ এবং উচ্চতা $h$।

প্রশ্নে প্রদত্ত অনুযায়ী: $$A=৮৪\text{ বর্গগজ}$$ $$h=১২\text{ গজ}$$ ক্ষেত্রফলের সূত্র অনুযায়ী: $$A=\frac{১}{২}\times \text{ভূমি}\times h$$ অতএব, ভূমির দৈর্ঘ্য $b$ নির্ণয় করি: $$৮৪=\frac{১}{২}\times b\times ১২$$ $$৮৪=৬b$$ $$b=\frac{৮৪}{৬}$$ $$b=১৪\text{ গজ}$$ অতএব, ত্রিভুজটির ভূমির দৈর্ঘ্য হলো ১৪ গজ।

ব্যাখ্যাঃ ধরা যাক, খুঁটিটি মাটি থেকে $h$ ফুট উঁচুতে ভেঙ্গেছে। খুঁটিটির মোট উচ্চতা ১৮ ফুট, তাই ভাঙ্গা অংশের দৈর্ঘ্য হবে $১৮-h$ ফুট।

ভাঙ্গা অংশটি ভূমির সাথে $৩০°$ কোণ তৈরি করে, তাই আমরা নিম্নলিখিত সমীকরণ পাই: $$\sin (৩০°)=\frac{h}{১৮-h}$$ যেহেতু $\sin (৩০°)=\frac{১}{২}$, তাই: $$\frac{১}{২}=\frac{h}{১৮-h}$$ $$১৮-h=২h$$ $$১৮=৩h$$ $$h=\frac{১৮}{৩}$$ $$h=৬$$ অতএব, খুঁটিটি মাটি থেকে ৬ ফুট উঁচুতে ভেঙ্গেছিল।

ব্যাখ্যাঃ একটি সামান্তরিক সমান সমান দু'টি ত্রিভুজের সমান।

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2}$ × ভূমি × উচ্চতা

অতএব,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = 2 ×$\frac{1}{2}$ × ভূমি × উচ্চতা = ভূমি × উচ্চতা

ব্যাখ্যাঃ একটি সমবাহু ষড়ভুজের অভ্যন্তরে অঙ্কিত বৃহত্তম বৃত্তের আয়তন দেওয়া আছে ১০০π। এই তথ্য ব্যবহার করে আমরা ষড়ভুজের আয়তন নির্ণয় করব।

ধাপ ১: বৃহত্তম বৃত্তের ব্যাসার্ধ নির্ণয়
বৃহত্তম বৃত্তের আয়তন $V=১০০\pi$। বৃত্তের আয়তনের সূত্র: $$V=\pi r^2$$ যেখানে $r$ হল বৃত্তের ব্যাসার্ধ।

প্রদত্ত আয়তন ব্যবহার করে: $$\begin{gathered} ১০০\pi =\pi r^2 \\ {r}^2=১০০ \\ r=১০ \end{gathered}$$ ধাপ ২: সমবাহু ষড়ভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয়
সমবাহু ষড়ভুজের অভ্যন্তরে অঙ্কিত বৃহত্তম বৃত্তের ব্যাসার্ধ $r$ এবং ষড়ভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য $a$ এর সম্পর্ক: $$r=\frac{a\sqrt{3}}{2}$$ $$\begin{gathered} ১০=\frac{a\sqrt{3}}{2} \\ a=\frac{১০\times 2}{\sqrt{3}} \\ a=\frac{২০}{\sqrt{3}} \\ a=\frac{২০\sqrt{3}}{3} \end{gathered}$$ ধাপ ৩: সমবাহু ষড়ভুজের আয়তন নির্ণয়
সমবাহু ষড়ভুজের আয়তনের সূত্র: $$A=\frac{3\sqrt{3}}{2}{a}^2$$ $$A=\frac{3\sqrt{3}}{2}{\left(\frac{২০\sqrt{3}}{3}\right)}^2$$ $$A=\frac{3\sqrt{3}}{2}\times \frac{৪০০\times 3}{9}$$ $$A=\frac{3\sqrt{3}}{2}\times \frac{১২০০}{9}$$ $$A=\frac{3\sqrt{3}}{2}\times \frac{৪০০}{3}$$ $$A=\frac{3\sqrt{3}\times ৪০০}{6}$$ $$A=\frac{১২০০\sqrt{3}}{6}$$ $$A=২০০\sqrt{3}$$ ∴ ষড়ভুজের আয়তন $২০০\sqrt{3}$।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, ক্ষেত্রটির বিস্তার $w$ মিটার এবং দৈর্ঘ্য $l=৩w$ মিটার।

দৈর্ঘ্য $l$ দেওয়া আছে $৪৮$ মিটার, সুতরাং: $$l=৩w=৪৮$$ $$w=\frac{৪৮}{৩}$$ $$w=১৬$$ মিটার

এখন, ক্ষেত্রটির পরিসীমা $P$ নির্ণয় করা যাক: $$P=২(l+w)$$ $$P=২(৪৮+১৬)$$ $$P=২\times ৬৪$$ $$P=১২৮$$ মিটার

অতএব, ক্ষেত্রটির পরিসীমা ১২৮ মিটার।

ব্যাখ্যাঃ ব্যাসার্ধ $r$ হলে ক্ষেত্রফল $\pi r^2$

এবং $(r+n)$ হলে ক্ষেত্রফল $\pi (r+n{)}^2$ $$\therefore 2\times \pi r^2=\pi (r+n{)}^2$$ $$\Rightarrow 2r^2=(r+n{)}^2$$ $$\Rightarrow \sqrt{2}r=r+n$$ $$\Rightarrow \sqrt{2}r-r=n$$ $$\therefore r=\frac{n}{\sqrt{2}-1}$$

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে, দুটি বর্গক্ষেত্রের প্রত্যেকটির বাহু ২০ ফুট। নিচের চিত্রটি কল্পনা করুন:

A ------ B ------ C ------ D ------ E ------ F

প্রত্যেকটি বর্গক্ষেত্রের বাহু দৈর্ঘ্য ২০ ফুট।

BC = ৬ ফুট এবং CF = ৫ ফুট।

আমাদের DE বের করতে হবে।

DE = পুরো বর্গক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য - (BC + CF) $$DE=২০-(৬+৫)=২০-১১=৯\text{ ফুট}$$ অতএব, DE এর মান হল ৯ ফুট।

ব্যাখ্যাঃ
BE = EF = CF হওয়ায়, AE ও AF মধ্যমা। এখানে, ΔAEC = 48 বর্গফুট এবং ΔABE = ΔAEF = ΔAFC = 24 বর্গফুট।

∴ ΔABC = ΔABE + ΔAEC = 24 + 48 = 72 বর্গফুট।

ব্যাখ্যাঃ রম্বসের ক্ষেত্রফল বের করার জন্য সূত্রটি হলো: $$\text{ক্ষেত্রফল}=\frac{1}{2}\times \text{প্রথম কর্ণ}\times \text{দ্বিতীয় কর্ণ}$$ এখানে প্রথম কর্ণ = $8\text{সে.মি.}$, এবং দ্বিতীয় কর্ণ = $6\text{সে.মি.}$। তাহলে, ক্ষেত্রফল: $$\text{ক্ষেত্রফল}=\frac{1}{2}\times 8\times 6$$ $$\text{ক্ষেত্রফল}=\frac{1}{2}\times 48=24$$ উত্তর: রম্বসের ক্ষেত্রফল $24\text{বর্গ সেন্টিমিটার}$।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, বৃত্তের প্রাথমিক ব্যাসার্ধ হলো $r$। তাহলে প্রাথমিক ক্ষেত্রফল হবে: $$\text{প্রাথমিক ক্ষেত্রফল}=\pi r^2$$ যখন ব্যাস ২০% বৃদ্ধি পায়, তখন ব্যাসার্ধও ২০% বৃদ্ধি পাবে। নতুন ব্যাসার্ধ হবে: $$r_{\text{নতুন}}=r+0.2r=1.2r$$ নতুন ক্ষেত্রফল: $$\text{নতুন ক্ষেত্রফল}=\pi (1.2r{)}^2=\pi (1.44r^2)=1.44\pi r^2$$ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধির পরিমাণ: $$\text{ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি}=\text{নতুন ক্ষেত্রফল}-\text{প্রাথমিক ক্ষেত্রফল}$$ $$\text{ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি}=1.44\pi r^2-\pi r^2=0.44\pi r^2$$ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি শতকরা হিসেবে: $$\text{বৃদ্ধি}=\frac{0.44\pi r^2}{\pi r^2}\times 100=44\mathrm{\%}$$ উত্তর: বৃত্তের ব্যাস ২০% বাড়ালে এর ক্ষেত্রফল ৪৪% বৃদ্ধি পাবে।

ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি যে, চাকার মোট ঘূর্ণনের পরিধি সমান হবে গাড়িটির মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব। চাকার পরিধি নির্ণয়ের জন্য সূত্র ব্যবহার করি: $$\text{চাকার পরিধি}=\frac{\text{মোট দূরত্ব}}{\text{মোট ঘূর্ণন সংখ্যা}}$$ প্রদত্ত:
- মোট দূরত্ব = $10\text{কি.মি.}=10,000\text{মিটার}$
- মোট ঘূর্ণন সংখ্যা = $2000$

তাহলে, চাকার পরিধি: $$\text{পরিধি}=\frac{10,000}{2000}=5\text{মিটার}$$ উত্তর: চাকার পরিধি $5\text{মিটার}$।

ব্যাখ্যাঃ বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য বের করার জন্য পাইথাগোরাসের উপপাদ্য ব্যবহার করতে হবে।
বর্গক্ষেত্রের কর্ণ হলো: $$\text{কর্ণ}=\sqrt{{\text{বাহু}}^2+{\text{বাহু}}^2}$$ প্রদত্ত, বর্গক্ষেত্রের এক বাহু $4\text{মিটার}$। তাহলে কর্ণ: $$\text{কর্ণ}=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}$$ $\sqrt{32}$ কে সরল করলে পাই: $$\sqrt{32}=\sqrt{16\times 2}=4\sqrt{2}$$ উত্তর: বর্গক্ষেত্রের কর্ণ $4\sqrt{2}\text{মিটার}$

ব্যাখ্যাঃ সমস্যাটি সমাধান করতে, আমরা চাকা প্রতি মিনিটে কত ডিগ্রী ঘোরে তা নির্ণয় করব, এবং তারপর ৫ সেকেন্ডে কত ডিগ্রী ঘোরে তা বের করব।

ধাপ ১: প্রতি মিনিটে চাকাটি কত ডিগ্রী ঘুরে
একবার সম্পূর্ণ ঘূর্ণন মানে চাকাটি ৩৬০° ঘোরে।
প্রতি মিনিটে চাকাটি ১২ বার ঘোরে।
সুতরাং, প্রতি মিনিটে চাকাটি ঘোরে: $$১২\times ৩৬০°=৪৩২০°$$ ধাপ ২: প্রতি সেকেন্ডে চাকাটি কত ডিগ্রী ঘোরে
প্রতি মিনিটে $৬০$ সেকেন্ড থাকে।
প্রতি সেকেন্ডে চাকাটি ঘুরবে: $$\frac{৪৩২০}{৬০}=৭২°$$ ধাপ ৩: ৫ সেকেন্ডে চাকাটি কত ডিগ্রী ঘুরবে
৫ সেকেন্ডে চাকাটি ঘুরবে: $$৭২°\times ৫=৩৬০°$$ উত্তর: চাকাটি ৫ সেকেন্ডে ৩৬০° (একবার সম্পূর্ণ ঘূর্ণন) ঘুরবে।

ব্যাখ্যাঃ জলাধারের আয়তন নির্ণয়ের জন্য আমরা নিচের সূত্রটি ব্যবহার করব: $$\text{আয়তন}=\text{দৈর্ঘ্য}\times \text{প্রস্থ}\times \text{উচ্চতা}$$ ধাপ ১: সমস্ত একক একীভূত করা
উচ্চতা $১০০\text{সেন্টিমিটার}=১\text{মিটার}$ (∵ ১ মিটার = ১০০ সেন্টিমিটার)।

ধাপ ২: সূত্রে মান বসানো
দৈর্ঘ্য = $২.৫\text{মিটার}$,
প্রস্থ = $২\text{মিটার}$,
উচ্চতা = $১\text{মিটার}$।
সুতরাং: $$\text{আয়তন}=২.৫\times ২\times ১=৫\text{ঘনমিটার}$$ উত্তর: জলাধারটির আয়তন হলো ৫ ঘনমিটার।

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে ১০০ গজকে ফুটে রূপান্তর করতে হবে: ১ গজ = ৩ ফুট তাহলে, $$১০০\times ৩=৩০০\text{ ফুট}$$ এখন, ৬ ফুট অন্তর চারা রোপণ করা হলে, মোট চারা সংখ্যা হবে: $$\frac{৩০০}{৬}+১=৫০+১=৫১$$ অর্থাৎ, সর্বোচ্চ ৫১টি চারা রোপণ করা যাবে।

(প্রান্তে একটি চারা ধরলে +১ যোগ করতে হয়, তাই ৫০-এর জায়গায় ৫১ হয়েছে)