অজানা সংখ্যাটি কত? ৪, ৬, ৯, ৬, ১৪, ৬ ___

প্রশ্নঃ $\frac{1}{\sqrt{3}}, - 1, \sqrt{3}, \dots \dots \dots$ ধারাটির পঞ্চম পদ কত?

[ বিসিএস ৪৫তম ]

ক. 9

খ.

3 \sqrt{3}

ক. 9

খ.

- 9 \sqrt{3}

গ.

3 \sqrt{3}

ক.

- \sqrt{3}

খ. 9

গ.

- 9 \sqrt{3}

ঘ.

3 \sqrt{3}

উত্তরঃ

3 \sqrt{3}

প্রশ্নঃ যদি $- 5, p, q, 16$ সমান্তর অনুক্রমে থাকে, তাহলে $p ও q$ এর মান হবে যথাক্রমে –

[ বিসিএস ৪৪তম ]

ক.

- 2, - 9

খ. 2,9

ক.

- 2, - 9

খ.

2, - 9

গ. 2,9

ক.

- 2, 9

খ. 2,9

গ.

- 2, - 9

ঘ.

2, - 9

প্রশ্নঃ $1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + \dots + n$ সংখ্যক পদের যোগফল হবে –

[ বিসিএস ৪৪তম ]

ক.

(\frac{1}{2}) [1 - (- 1) n]

খ. 1

ক. 1

খ.

(\frac{1}{2}) [1 - (- 1) n]

গ.

[1 + (- 1) n]

ক. 0

খ. 1

গ.

[1 + (- 1) n]

ঘ.

(\frac{1}{2}) [1 - (- 1) n]

উত্তরঃ

(\frac{1}{2}) [1 - (- 1) n]

প্রশ্নঃ $\frac{1}{4} - \frac{1}{6} + \frac{1}{9} - \frac{2}{7} + \dots \dots \dots .$ ধারাটির অসীম পদের সমষ্টি কত?

[ বিসিএস ৪৩তম ]

ক.

S_{\infty} = \frac{3}{20}

খ.

S_{\infty} = 3

ক.

S_{\infty} = \frac{20}{3}

খ.

S_{\infty} = \frac{3}{20}

গ.

S_{\infty} = 20

ক.

S_{\infty} = \frac{20}{3}

খ.

S_{\infty} = \frac{3}{20}

গ.

S_{\infty} = 20

ঘ.

S_{\infty} = 3

উত্তরঃ

S_{\infty} = \frac{3}{20}

প্রশ্নঃ $5 + 8 + 11 + 14 + . . . . .$ ধারাটির কত তম পদ 302?

[ বিসিএস ৪২তম ]

ক. 60 তম পদ

খ. 70 তম পদ

গ. 90 তম পদ

ঘ. 100 তম পদ

প্রশ্নঃ নিচের ধারার শেষ সংখ্যা কত?
$৩, ৯, ২ ৭, ৮ ১, . . . . . ?$

[ বিসিএস ৪২তম ]

ক. ২৪১

খ. ২৪৩

গ. ২৪৫

ঘ. ২৪৭

প্রশ্নঃ $০ . ১ ২ + ০ . ০ ০ ১ ২ + ০ . ০ ০ ০ ০ ১ ২ + \dots$ ধারাটির অসীম পদ পর্যন্ত যোগফল-

[ বিসিএস ৪১তম ]

ক.

\frac{১ ১ ২}{৯ ৯}

খ.

\frac{৪}{৩ ৩}

ক.

\frac{৪}{৯ ৯}

খ.

\frac{১ ১ ২}{৯ ৯}

গ.

\frac{৪}{৩ ৩}

ক.

\frac{৪}{৩ ৩}

খ.

\frac{৪}{৯ ৯}

গ.

\frac{১ ১ ২}{৯ ৯}

ঘ.

\frac{১ ৪}{৯ ৯}

উত্তরঃ

\frac{৪}{৩ ৩}

প্রশ্নঃ একটি সমান্তর অনুক্রমে 5ম পদটি 18 এবং প্রথম 5 টি পদের যোগফল 75 হলে প্রথম পদটি কত?

[ বিসিএস ৩৮তম ]

ক. 2

খ. 10

গ. 4

ঘ. 12

প্রশ্নঃ ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত সংখ্যাসমূহের যোগফল কত?

[ বিসিএস ৩৮তম ]

ক. ৪৯৯৯

খ. ৫৫০১

গ. ৫০৫০

ঘ. ৫০০১

প্রশ্নঃ কোন সংখ্যাটি নিম্নোক্ত ধারায় অন্তর্ভুক্ত নয়?
$1 - 2 - 5 - 10 - 13 - 26 - 29 - 48$

[ বিসিএস ৩৮তম ]

ক. ১

খ. ১০

গ. ২৯

ঘ. ৪৮

প্রশ্নঃ একটি সমান্তর অনুক্রমে সাধারণ অন্তর 10 এবং 6-তম পদটি 52 হলে 15-তম পদটি –

[ বিসিএস ৩৭তম ]

ক. 140

খ. 142

গ. 148

ঘ. 150

প্রশ্নঃ একটি গুণোত্তর অনুক্রমে তৃতীয় পদটি 20 এবং ষষ্ঠ (6-তম) পদটি 160 হলে প্রথম পদটি-

[ বিসিএস ৩৭তম ]

ক. 5

খ. 10

গ. 12

ঘ. 8

প্রশ্নঃ যদি $1 + 3 + 5 + . . . . . . . . + (2 x - 1)$ কত?

[ বিসিএস ৩৬তম ]

ক.

x^{2}

খ.

x (x - 1)

ক.

x^{2}

খ.

x (x - 1)

গ.

x (x + 1)

ক.

x (x - 1)

খ.

\frac{x (x + 1)}{2}

গ.

x (x + 1)

ঘ.

x^{2}

উত্তরঃ

x^{2}

প্রশ্নঃ $১ + ৫ + ৯ + . . . . . . . . . . . . . . . . + ৮ ১ = ?$

[ বিসিএস ৩৬তম ]

ক. ৯৬১

খ. ৮৬১

গ. ৭৬১

ঘ. ৬৬১

প্রশ্নঃ $৩, ৭, ৪, ১ ৪, ৫, ২ ১, ৬$ ধারার অষ্টম সংখ্যাটি কত হবে?

[ বিসিএস ৩৬তম ]

ক. ৬

খ. ৭

গ. ২৮

ঘ. ২৯

প্রশ্নঃ প্রশ্নবোধক স্থানে (?) কোনটি বসবে?
$৩, ১ ০, ৯, ৮, ২ ৭, ৬, ৮ ১, ৪, ২ ৪ ৩ (?)$

[ বিসিএস ৩৬তম ]

ক. ২

খ. ৪

গ. ১৫

ঘ. ৯২

প্রশ্নঃ একটি গুণোত্তর অনুক্রমের দ্বিতীয় পদটি -48 এবং পঞ্চম পদটি $\frac{3}{4}$ হলে সাধারণ অনুপাত কত?

[ বিসিএস ৩৫তম ]

ক.

- \frac{1}{2}

খ.

- \frac{1}{4}

ক.

\frac{1}{2}

খ.

- \frac{1}{4}

গ.

\frac{1}{4}

ক.

\frac{1}{2}

খ.

- \frac{1}{2}

গ.

\frac{1}{4}

ঘ.

- \frac{1}{4}

উত্তরঃ

- \frac{1}{4}

প্রশ্নঃ নিচের নম্বর সিরিজে কোনটি বসবে?
১, ২, ৮, ৪৮, ৩৮৪, ......

[ বিসিএস ৩৫তম ]

ক. ১৯৮০

খ. ২৮৪০

গ. ৩৮৪০

ঘ. ৪৬২০

প্রশ্নঃ ০.০৩, ০.১২, ০.৪৮, ___ শূন্যস্থানে সংখ্যাটি কত হবে?

[ বিসিএস ৩৪তম ]

ক. ০.৯৬

খ. ১.৪৮

গ. ১.৯২

ঘ. ১.৫০

প্রশ্নঃ $১, ১, ২, ৩, ৫, ৮, ১ ৩, ২ ১ . . . . . . . . . . . . . .$ ধারার ১০ম পদটি কত?

[ বিসিএস ৩৩তম ]

ক. ৩৪

খ. ৫৫

গ. ৪৮

ঘ. ৬৪

প্রশ্নঃ $১, ৩, ৬, ১ ০, ১ ৫, ২ ১ . . . . . . . .$ ধারাটির দশম পদ কত?

[ বিসিএস ৩২তম ]

ক. ৪৫

খ. ৫৫

গ. ৬২

ঘ. ৬৫

প্রশ্নঃ $১^{২} + ২^{২} + ৩^{২} + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . + ৫ ০^{২} =$ কত?

[ বিসিএস ২৭তম ]

ক. ৩৫৭২৫

খ. ৪২৯২৫

গ. ৪৫৫০০

ঘ. ৪৭২২৫

ব্যাখ্যাঃ এই প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য, আমরা প্রথমে ১ থেকে ৫০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলির বর্গের সমষ্টি বের করার চেষ্টা করব। আমরা জানি যে,

১^{২} + ২^{২} + ৩^{২} + . . . + n^{২} = \frac{n (n + ১) (২ n + ১)}{৬}

এখানে, n = ৫০। সুতরাং,

১^{২} + ২^{২} + ৩^{২} + . . . + ৫ ০^{২} = \frac{৫ ০ (৫ ০ + ১) (২ \times ৫ ০ + ১)}{৬}

= \frac{৫ ০ \times ৫ ১ \times ১ ০ ১}{৬}

= \frac{২ ৫ ৭ ৫ ৫ ০}{৬}

= ৪ ২ ৯ ২ ৫

অতএব,

১^{২} + ২^{২} + ৩^{২} + . . . + ৫ ০^{২} = ৪ ২ ৯ ২ ৫ ।

প্রশ্নঃ $১, ৩, ৬, ১ ০, ১ ৫, ২ ১, \dots \dots$ ধারাটির দশম পদ–

[ বিসিএস ২৬তম ]

ক. ৪৫

খ. ৫৫

গ. ৬২

ঘ. ৬৫

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত ধারাটি হলো:

১, ৩, ৬, ১ ০, ১ ৫, ২ ১, \dots \dots

এই ধারাটি একটি ত্রিভুজ সংখ্যা ধারা (Triangular Number Sequence)। এই ধারার প্রতিটি পদ হলো ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল। ### ধারাটির প্যাটার্ন: - ১ম পদ:

১ = ১

- ২য় পদ:

৩ = ১ + ২

- ৩য় পদ:

৬ = ১ + ২ + ৩

- ৪র্থ পদ:

১ ০ = ১ + ২ + ৩ + ৪

- ৫ম পদ:

১ ৫ = ১ + ২ + ৩ + ৪ + ৫

- ৬ষ্ঠ পদ:

২ ১ = ১ + ২ + ৩ + ৪ + ৫ + ৬

এভাবে,

n

-তম পদ হলো প্রথম

n

টি স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল। ত্রিভুজ সংখ্যার সাধারণ সূত্র হলো: \[ Tn = \frac{n(n + 1)}{2} \] যেখানে, $Tn$ হলো ধারাটির

n

-তম পদ। ### দশম পদ নির্ণয়: দশম পদের জন্য

n = ১ ০

। সূত্রে মান বসিয়ে পাই:

T_{১ ০} = \frac{১ ০ (১ ০ + ১)}{২} = \frac{১ ০ \times ১ ১}{২} = \frac{১ ১ ০}{২} = ৫ ৫

### উত্তর: ধারাটির দশম পদ হলো ৫৫।

প্রশ্নঃ $1 + 2 + 3 + 4 + . \dots . \dots + 99 =$ কত?

[ বিসিএস ২৫তম ]

ক. 4650

খ. 4750

গ. 4850

ঘ. 4950

ব্যাখ্যাঃ আমরা এখানে গাণিতিক ধারার একটি সাধারণ সূত্র ব্যবহার করতে পারি:

1 + 2 + 3 + . . . + n

এর যোগফল নির্ণয়ের সূত্র হল: \[ Sn = \frac{n(n+1)}{2} \] এই ক্ষেত্রে, $n = 99$ , তাই আমরা এটি সূত্রে স্থাপন করতে পারি: \[ S{99} = \frac{99(99+1)}{2} = \frac{99 \times 100}{2} = 4950 \] সুতরাং,

1 + 2 + 3 + . . . + 99 = 4950

।

প্রশ্নঃ $\log 2 + \log 4 + \log 8 + . . . . . . .$ ধারাটির প্রথম দশটি পদের সমষ্টি কত?

[ বিসিএস ২৫তম ]

ক.

65 l o g 2

খ.

55 l o g 2

ক.

55 l o g 2

খ.

45 l o g 2

গ.

75 l o g 2

ক.

45 l o g 2

খ.

55 l o g 2

গ.

65 l o g 2

ঘ.

75 l o g 2

উত্তরঃ

55 l o g 2

ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রদত্ত ধারাটি লক্ষ্য করলে দেখতে পারি যে এটি লগারিদমিক সমষ্টি। ধারাটির সাধারণ পদের রূপ হলো:

\log (2) + \log (4) + \log (8) + \dots

যদি আমরা লগারিদমিক সূত্র ব্যবহার করি:

\log (a \times b) = \log (a) + \log (b)

এই সূত্রটি ব্যবহার করে, ধারাটির প্রথম দশটি পদের সমষ্টি হলো:

\log (2) + \log (2^{2}) + \log (2^{3}) + \dots + \log (2^{10})

এখন, এই লগারিদমিক সমষ্টিটিকে একটি লগারিদম হিসেবে রূপান্তরিত করতে পারি:

\log (2^{1} \times 2^{2} \times 2^{3} \times \dots \times 2^{10})

আমরা দেখতে পাচ্ছি যে এটি আসলে একটি গুণন সমীকরণ:

\log (2^{1 + 2 + 3 + \dots + 10})

প্রথম দশটি পদ গণনা করে:

1 + 2 + 3 + \dots + 10 = \frac{10 (10 + 1)}{2} = 55

অতএব, ধারাটির প্রথম দশটি পদের সমষ্টি হলো:

\log (2^{55})

এবং শেষ পর্যন্ত আমরা পাই:

55 \log (2)

ধারণাটি আরও স্পষ্ট করার জন্য:

\log (2^{1}) + \log (2^{2}) + \log (2^{3}) + \dots + \log (2^{10}) = 55 \log (2)

প্রশ্নঃ $১^{২} + ৩^{২} + ৫^{২} + . . . . . . + ৩ ১^{২}$ সমান কত?

[ বিসিএস ২৪তম ]

ক. ২৫৮

খ. ২৫৬

গ. ২৫৪

ঘ. ২৫২

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত ধারাটি হলো:

1^{2} + 3^{2} + 5^{2} + \dots + 31^{2}

এটি একটি বর্গ ধারা যেখানে প্রতিটি পদ বিজোড় সংখ্যার বর্গ। প্রথম

n

বিজোড় সংখ্যার বর্গের যোগফলের সূত্র হলো: \[ \sum{k=1}^{n} (2k-1)^2 = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3} \] প্রথমে আমরা $n$ এর মান নির্ণয় করব। ধারাটির শেষ পদ $31$ হলে: $2 n - 1 = 31 ⟹ 2 n = 32 ⟹ n = 16$ এখন সূত্রে $n = 16$ বসালে: \[ \sum{k=1}^{16} (2k-1)^2 = \frac{16 \times 31 \times 33}{3} \] গুণফল নির্ণয়:

16 \times 31 = 496

496 \times 33 = 16, 368

\frac{16, 368}{3} = 5, 456

### উত্তর:

5, 456

প্রশ্নঃ $৯, ৩ ৬, ৮ ১, ১ ৪ ৪, . . .$ এর পরবর্তী সংখ্যা কত?

[ বিসিএস ২৪তম ]

ক. ১৬৯

খ. ২২৫

গ. ২৫৬

ঘ. ২৭২

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সংখ্যাগুলি হল: ৯, ৩৬, ৮১, ১৪৪, ... এই সংখ্যাগুলি পর্যবেক্ষণ করলে দেখা যায় যে এগুলি পূর্ণবর্গ সংখ্যা:

9 = 3^{2}

36 = 6^{2}

81 = 9^{2}

144 = 12^{2}

এখানে বর্গের ভিত্তি সংখ্যাগুলি হল: ৩, ৬, ৯, ১২, ... এই ভিত্তি সংখ্যাগুলি প্রতিবার ৩ করে বৃদ্ধি পাচ্ছে। তাই পরবর্তী ভিত্তি সংখ্যা হবে:

12 + 3 = 15

পরবর্তী সংখ্যাটি হবে:

15^{2} = 225

উত্তর:

225

প্রশ্নঃ কোনো সমান্তর প্রগমনে প্রথম দুটি সংখ্যা যদি ৫ ও ১৭ হয়, তবে তৃতীয় সংখ্যাটি কত?

[ বিসিএস ২৩তম ]

ক. ২২

খ. ২৫

গ. ২৯

ঘ. ৮৫

ব্যাখ্যাঃ কোনো সমান্তর প্রগমনে, ধারাটির প্রতিটি সংখ্যা পূর্বের সংখ্যার সাথে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যার যোগফল।

ধরি, প্রথম সংখ্যাটি

a = 5

এবং পার্থক্যটি

d

।

ধারাটির দ্বিতীয় সংখ্যা

a + d = 17

। তাহলে আমরা

d

বের করতে পারি:

a + d = 17

5 + d = 17

d = 17 - 5

d = 12

এখন, তৃতীয় সংখ্যাটি নির্ণয় করতে আমরা

a + 2 d

ব্যবহার করব:

a + 2 d = 5 + 2 \times 12

a + 2 d = 5 + 24

a + 2 d = 29

তাহলে, তৃতীয় সংখ্যাটি হল ২৯।

প্রশ্নঃ $১, ২, ৩, ৫, ৮, ১ ৩, ২ ১, ৩ ৪, \dots .$ ধারাটির পরবর্তী সংখ্যা কত?

[ বিসিএস ২৩তম ]

ক. ৫৫

খ. ৪০

গ. ৬৮

ঘ. ৮৯

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সংখ্যা ১, ২, ৩, ৫, ৮, ১৩, ২১, ৩৪, … একটি ফিবোনাচ্চি ধারার উদাহরণ।

ফিবোনাচ্চি ধারার নিয়ম: \[ Fn = F{n-1} + F_{n-2} \] অর্থাৎ, প্রতিটি সংখ্যা আগের দুই সংখ্যার যোগফল।

### পরবর্তী সংখ্যা নির্ণয় শেষ দুটি সংখ্যা ২১ এবং ৩৪। তাহলে, পরবর্তী সংখ্যা হবে:

21 + 34 = 55

### উত্তর: পরবর্তী সংখ্যা ৫৫

প্রশ্নঃ পরপর দশটি সংখ্যার প্রথম ৫টির যোগফল ৫৬০ হলে শেষ ৫টির যোগফল কত?

[ বিসিএস ১৮তম ]

ক. ৫৮৫

খ. ৫৮০

গ. ৫৭৫

ঘ. ৫৭০

ব্যাখ্যাঃ ধরুন, পরপর দশটি সংখ্যা হলো

a, a + 1, a + 2, \dots, a + 9

।

প্রথম ৫টি সংখ্যার যোগফল:

a + (a + 1) + (a + 2) + (a + 3) + (a + 4) = ৫ ৬ ০

এখন সমীকরণটি সমাধান করি:

5 a + 10 = ৫ ৬ ০

5 a = ৫ ৬ ০ - ১ ০

5 a = ৫ ৫ ০

a = ১ ১ ০

তাহলে পরপর দশটি সংখ্যা হলো: ১১০, ১১১, ১১২, ১১৩, ১১৪, ১১৫, ১১৬, ১১৭, ১১৮, ১১৯। শেষ ৫টি সংখ্যার যোগফল:

১ ১ ৫ + ১ ১ ৬ + ১ ১ ৭ + ১ ১ ৮ + ১ ১ ৯ = ৫ ৮ ৫

অতএব, শেষ ৫টি সংখ্যার যোগফল হলো ৫৮৫।

প্রশ্নঃ ১ হতে ১০০ পর্যন্ত সংখ্যা সমূহের যোগফল কত?

[ বিসিএস ১৮তম ]

ক. ৪৯৯৯

খ. ৫৫০১

গ. ৫০৫০

ঘ. ৫০০১

ব্যাখ্যাঃ ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর যোগফল বের করার একটি সহজ পদ্ধতি হল গাণিতিক ধারা ব্যবহার করা।

১ + ২ + ৩ + \dots + ১ ০ ০

আমরা জানি যে,

n

সংখ্যার যোগফল বের করার সূত্র হলো:

Sum = \frac{n (n + 1)}{2}

এখানে

n = 100

:

Sum = \frac{100 (100 + 1)}{2} = \frac{100 \times 101}{2} = 5050

অতএব, ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর যোগফল ৫০৫০।

প্রশ্নঃ ৮১, ২৭, ___, ৩, ১ লুপ্ত সংখ্যাটি কত?

[ বিসিএস ১৭তম ]

ক. ৬

খ. ৯

গ. ১২

ঘ. ১৫

ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রথমে দেখি যে সংখ্যাগুলো কোন নির্দিষ্ট ধারায় আছে কি না। দেওয়া সংখ্যাগুলো হলো: ৮১, ২৭, _, ৩, ১। প্রথম দুটি সংখ্যার ক্ষেত্রে পার্থক্য হলো:

৮ ১ = ৩^{৪}

২ ৭ = ৩^{৩}

এখন, দেখতে পাচ্ছি যে এরা ৩ এর ঘাত। চলুন দেখি ধারাটি কীভাবে কাজ করে:

৮ ১ = ৩^{৪}

২ ৭ = ৩^{৩}

৩^{২} = ৯

৩ = ৩^{১}

১ = ৩^{০}

অতএব, ৮১, ২৭, ৯, ৩, ১।
লুপ্ত সংখ্যা হলো ৯।

প্রশ্নঃ ১ থেকে ৯৯ পর্যন্ত সংখ্যার যোগফল-

[ বিসিএস ১৫তম ]

ক. ৪৮৫০

খ. ৪৯৫০

গ. ৫৭৫০

ঘ. ৫৯৫০

ব্যাখ্যাঃ ১ থেকে ৯৯ পর্যন্ত সংখ্যার যোগফল নির্ণয় করতে আমরা সমান্তর ধারার যোগফলের সূত্র ব্যবহার করব।

### সমান্তর ধারার যোগফলের সূত্র:

S = \frac{n}{2} \times (a + l)

যেখানে:
-

S

= যোগফল
-

n

= পদ সংখ্যা
-

a

= প্রথম পদ
-

l

= শেষ পদ

### ধাপ ১: মান নির্ণয়
- প্রথম পদ (

a

) = ১
- শেষ পদ (

l

) = ৯৯
- পদ সংখ্যা (

n

) = ৯৯

### ধাপ ২: সূত্রে মান বসিয়ে যোগফল নির্ণয়

S = \frac{99}{2} \times (1 + 99)

S = \frac{99}{2} \times 100

S = 99 \times 50

S = 4950

### চূড়ান্ত উত্তর:

১ থেকে ৯৯ পর্যন্ত সংখ্যার যোগফল হলো ৪৯৫০।

প্রশ্নঃ $৮, ১ ১, ১ ৭, ২ ৯, ৫ ৩, . . . . .$ । পরবর্তী সংখ্যাটি কত?

[ বিসিএস ১২তম ]

ক. ১০১

খ. ১০২

গ. ৭৫

ঘ. ৫৯

ব্যাখ্যাঃ ধরি, আমরা

৮, ১ ১, ১ ৭, ২ ৯, ৫ ৩, . . . .

ক্রমটির জন্য পরবর্তী সংখ্যা খুঁজছি।

প্রথমে, আমরা দুটি পরপর সংখ্যার মধ্যে পার্থক্য বের করি:

১ ১ - ৮ = ৩

১ ৭ - ১ ১ = ৬

২ ৯ - ১ ৭ = ১ ২

৫ ৩ - ২ ৯ = ২ ৪

এখন, লক্ষ করছি যে পার্থক্যগুলি হলো

৩, ৬, ১ ২, ২ ৪

। দেখা যাচ্ছে, প্রতিটি পরবর্তী পার্থক্য পূর্ববর্তী পার্থক্যের দ্বিগুণ।

তাহলে, পরবর্তী পার্থক্য হবে

২ ৪ \times ২ = ৪ ৮

।

সুতরাং, ক্রমের পরবর্তী সংখ্যা হবে

৫ ৩ + ৪ ৮ = ১ ০ ১

।

অতএব, ক্রমের পরবর্তী সংখ্যা হবে

১ ০ ১

।

প্রশ্নঃ ১৯, ৩৩, ৫১, ৭৩, ......। পরবর্তী সংখ্যাটি কত?

[ বিসিএস ১১তম ]

ক. ৮৫

খ. ১২১

গ. ৯৯

ঘ. ৯৮

ব্যাখ্যাঃ ধরি, আমরা ধারাটির পরবর্তী সংখ্যা খুঁজছি:

১ ৯, ৩ ৩, ৫ ১, ৭ ৩, . . . .

প্রথমে, আমরা দুটি পরপর সংখ্যার মধ্যে পার্থক্য নির্ণয় করি:

৩ ৩ - ১ ৯ = ১ ৪

৫ ১ - ৩ ৩ = ১ ৮

৭ ৩ - ৫ ১ = ২ ২

আমরা লক্ষ্য করছি যে পার্থক্যগুলি হলো

১ ৪, ১ ৮, ২ ২

। দেখা যাচ্ছে, পার্থক্যগুলির মধ্যে একটি ধারা আছে: প্রতিটি পার্থক্য ৪ করে বাড়ছে।

তাহলে, পরবর্তী পার্থক্য হবে

২ ২ + ৪ = ২ ৬

।

সুতরাং, পরবর্তী সংখ্যা হবে

৭ ৩ + ২ ৬ = ৯ ৯

।

অতএব, ধারার পরবর্তী সংখ্যা হলো

৯ ৯

।

প্রশ্নঃ ১ থেকে ৪৯ পর্যন্ত সংখ্যার গড় কত?

[ বিসিএস ১০তম ]

ক. ২৩

খ. ২৪.৫

গ. ২৫

ঘ. ২৬.৫

ব্যাখ্যাঃ ১ থেকে ৪৯ পর্যন্ত সংখ্যার গড় নির্ণয় করতে হলে আমাদের প্রথমে যোগফল বের করতে হবে এবং তারপর সংখ্যা গুলি গণনা করতে হবে।

সংখ্যাগুলির যোগফল বের করতে হলে:

যোগফল = \frac{n (n + 1)}{2}

যেখানে,

n

হল সর্বশেষ সংখ্যা।

যোগফল = \frac{49 \times 50}{2} = 1225

এখন, সংখ্যাগুলির গড় নির্ণয় করতে:

গড় = \frac{যোগফল}{সংখ্যার সংখ্যা} = \frac{1225}{49} = 25

অতএব, ১ থেকে ৪৯ পর্যন্ত সংখ্যার গড় হল ২৫।

প্রশ্নঃ $1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + . . . . . + x^{2}$ এর মান কত?

[ বিসিএস ৩১তম ]

ক.

{{\frac{x (x + 1)}{2}}}^{2}

খ.

\frac{x (x + 1) (2 x + 1)}{6}

ক.

x

খ.

{{\frac{x (x + 1)}{2}}}^{2}

গ.

\frac{x (x + 1) (2 x + 1)}{6}

ক.

\frac{x (x + 1) (2 x + 1)}{6}

খ.

\frac{x (x + 1)}{2}

গ.

x

ঘ.

{{\frac{x (x + 1)}{2}}}^{2}

উত্তরঃ

\frac{x (x + 1) (2 x + 1)}{6}

ব্যাখ্যাঃ

1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \dots + x^{2}

এই ধারাটির যোগফল নির্ণয়ের জন্য একটি সূত্র আছে। এই সূত্রটি হলো:

1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \dots + x^{2} = \frac{x (x + 1) (2 x + 1)}{6}

এই সূত্রটি ব্যবহার করে আমরা

1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \dots + x^{2}

এর মান নির্ণয় করতে পারি।

ব্যাখ্যা:
-

x

হলো ধারাটির শেষ পদ।
- সূত্রটি প্রমাণিত এবং গাণিতিকভাবে সঠিক।

সুতরাং,

1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \dots + x^{2}

এর মান হলো:

\frac{x (x + 1) (2 x + 1)}{6}

প্রশ্নঃ $1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + . . . . . . + x^{2}$ এর মান কত?

[ প্রা.বি.স.শি. 02-02-2024 ]

ক.

x

খ.

\frac{x (x + 1) (2 x + 1)}{6}

ক.

x

খ.

x^{n}

গ.

\frac{x (x + 1) (2 x + 1)}{6}

ক.

x

খ.

\frac{x (x + 1) (2 x + 1)}{6}

গ.

x^{1 + 4}

ঘ.

x^{n}

উত্তরঃ

\frac{x (x + 1) (2 x + 1)}{6}

ব্যাখ্যাঃ

1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \dots + x^{2}

এর যোগফলের সূত্র হলো:

যোগফল = \frac{x (x + 1) (2 x + 1)}{6}

প্রশ্নঃ ১ হতে ২০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর যোগফল কত?

[ প্রা.বি.স.শি. 02-02-2024 ]

ক. ২২০

খ. ২৩০

গ. ২১০

ঘ. ২৪০

ব্যাখ্যাঃ ১ থেকে ২০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর যোগফল নির্ণয়ের জন্য আমরা নিচের সূত্রটি ব্যবহার করতে পারি:

যোগফল = \frac{n (n + 1)}{2}

এখানে,

n

হলো সর্বোচ্চ সংখ্যা, অর্থাৎ

20

। তাহলে:

যোগফল = \frac{20 (20 + 1)}{2} = \frac{20 \times 21}{2} = 210

উত্তর: ১ থেকে ২০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর যোগফল হলো

210

।

প্রশ্নঃ ১ হতে ১০০ পর্যন্ত সংখ্যাসমূহের যোগফল কত?

[ প্রা.বি.স.শি. 08-12-2023 ]

ক. ৫০০১

খ. ৫০৫০

গ. ৫৫০১

ঘ. ৪৯৯৯

ব্যাখ্যাঃ ১ হতে ১০০ পর্যন্ত সংখ্যাসমূহের যোগফল নির্ণয়ের জন্য আমরা গাণিতিক সূত্র ব্যবহার করতে পারি। ধারাটির যোগফল নির্ণয়ের সূত্র হলো:

যোগফল = \frac{n (n + 1)}{2}

যেখানে

n

হলো শেষ সংখ্যা। এখানে

n = 100

।

যোগফল = \frac{100 (100 + 1)}{2} = \frac{100 \times 101}{2}

যোগফল = \frac{10100}{2} = 5050

উত্তর: ১ হতে ১০০ পর্যন্ত সংখ্যাসমূহের যোগফল হলো:

5050

প্রশ্নঃ লুপ্ত সংখ্যাটি কত? ৮১, ২৭ __ ৩, ১

[ প্রা.বি.স.শি. 08-12-2023 ]

ক. ১২

খ. ১৫

গ. ৬

ঘ. ৯

ব্যাখ্যাঃ এই সংখ্যাগুলোর একটি নিদিষ্ট ক্রম রয়েছে, যা মনে হচ্ছে একটি গুণোত্তর ধারার (geometric progression) অংশ। এখানে:

- প্রথম সংখ্যা:

৮ ১

- দ্বিতীয় সংখ্যা:

২ ৭

- তৃতীয় সংখ্যা: লুপ্ত
- চতুর্থ সংখ্যা:

৩

- পঞ্চম সংখ্যা:

১

ধরা যাক, ধারার অনুপাত

r

। গুণোত্তর ধারায় প্রতিটি পরবর্তী সংখ্যা আগের সংখ্যার সাথে

r

-এ গুণ করে পাওয়া যায়। প্রথম দুটি সংখ্যার মধ্যে

r

নির্ণয় করি:

r = \frac{২ ৭}{৮ ১} = \frac{১}{৩}

এখন

r = \frac{১}{৩}

ব্যবহার করে, তৃতীয় সংখ্যাটি বের করি:

ত ৃ ত ী য় স ং খ ্ য া = ২ ৭ \times \frac{১}{৩} = ৯

অতএব, লুপ্ত সংখ্যাটি হলো ৯।

প্রশ্নঃ ১ থেকে ১১ পর্যন্ত ক্রমিক এর স্বাভাবিক সংখ্যার গড় কত?

[ প্রা.বি.স.শি. 08-12-2023 ]

ক. ৪

খ. ৫

গ. ৬

ঘ. ৭

ব্যাখ্যাঃ ১ থেকে ১১ পর্যন্ত ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গড় বের করার জন্য গড়ের সূত্র ব্যবহার করতে হবে:

গড় = \frac{সমস্ত সংখ্যার যোগফল}{সংখ্যার পরিমাণ}

ধাপ ১: সমস্ত সংখ্যার যোগফল বের করা
১ থেকে ১১ পর্যন্ত সংখ্যার যোগফল হলো:

১ + ২ + ৩ + \dots + ১ ১ = \frac{n \times (n + ১)}{২}

যেখানে

n = ১ ১

। সুতরাং:

যোগফল = \frac{১ ১ \times (১ ১ + ১)}{২} = \frac{১ ১ \times ১ ২}{২} = ৬ ৬

ধাপ ২: সংখ্যার পরিমাণ
১ থেকে ১১ পর্যন্ত সংখ্যার পরিমাণ

n = ১ ১

।

ধাপ ৩: গড় নির্ণয়

গড় = \frac{যোগফল}{সংখ্যার পরিমাণ} = \frac{৬ ৬}{১ ১} = ৬

উত্তর: ১ থেকে ১১ পর্যন্ত স্বাভাবিক সংখ্যার গড় হলো ৬।

প্রশ্নঃ ৮, ১১, ১৭, ২৯, ৫৩, ___ পরবর্তী সংখ্যাটি কত?

[ প্রা.বি.স.শি. 22-04-2022 ]

ক. ৫৯

খ. ১০১

গ. ৭৫

ঘ. ১০২

ব্যাখ্যাঃ ধারা লক্ষ্য করলে দেখা যায় সংখ্যাগুলোর মধ্যে পার্থক্য পর্যায়ক্রমে বৃদ্ধি পাচ্ছে:

-

১ ১ - ৮ = ৩

-

১ ৭ - ১ ১ = ৬

-

২ ৯ - ১ ৭ = ১ ২

-

৫ ৩ - ২ ৯ = ২ ৪

এখানে পার্থক্যগুলো হলো

৩, ৬, ১ ২, ২ ৪

, যা দ্বিগুণ করে বৃদ্ধি পাচ্ছে। সুতরাং পরবর্তী পার্থক্য হবে:

২ ৪ \times ২ = ৪ ৮

তাহলে পরবর্তী সংখ্যা:

৫ ৩ + ৪ ৮ = ১ ০ ১

উত্তর: পরবর্তী সংখ্যাটি হলো ১০১।

প্রশ্নঃ ২,৩,৫,৮,১৩,২১,৩৪, ____ ধারাটির পরের সংখ্যাটি কত?

[ প্রা.বি.স.শি. 27-06-2019 ]

ক. ১৩

খ. ৩৫

গ. ১৬

ঘ. ৫৫

ব্যাখ্যাঃ এই ধারাটির নিয়ম হলো: প্রতিটি সংখ্যা আগের দুটি সংখ্যার যোগফল।

এখানে ধারাটি বিশ্লেষণ করলে দেখা যায়:
- ২ + ৩ = ৫
- ৩ + ৫ = ৮
- ৫ + ৮ = ১৩
- ৮ + ১৩ = ২১
- ১৩ + ২১ = ৩৪
- ২১ + ৩৪ = ৫৫

সুতরাং, ধারাটির পরবর্তী সংখ্যাটি হল ৫৫।

সেটিং

জব প্রিপারেশন বই

প্রশ্নঃ অজানা সংখ্যাটি কত? ৪, ৬, ৯, ৬, ১৪, ৬ ____ ?

লগইন করুন

সেটিং

জব প্রিপারেশন বই

প্রশ্নঃ অজানা সংখ্যাটি কত? ৪, ৬, ৯, ৬, ১৪, ৬ ____ ?

Related MCQ