ব্যাখ্যাঃ চক্রবৃদ্ধি মূলধন গণনার সূত্র হলো: \[ A = P \left(1 + \frac{r}{100}\right)^t \]

এখানে,

• ( P = 400 ) (প্রাথমিক মূলধন),
• ( r = 5% ) (বার্ষিক সুদের হার),
• ( t = 2 ) বছর,
• ( A ) হবে চূড়ান্ত পরিমাণ।

প্রয়োগ করি: \[ A = 400 \times \left(1 + \frac{5}{100}\right)^2 \] \[ A = 400 \times \left(1.05\right)^2 \] \[ A = 400 \times 1.1025 \] \[ A = 440.96 \] সুতরাং, ২ বছর পর মূলধনের পরিমাণ হবে ৪৪১ টাকা।

ব্যাখ্যাঃ প্রশ্নটি অনুযায়ী:

• মূলধন (P) = ১০,০০০ টাকা
  
• বার্ষিক সুদের হার (r) = ২০%
  
• সময় (t) = ২ বছর
  
• চক্রের সংখ্যা প্রতি বছর (n) = ২ (কারণ অর্ধবার্ষিক চক্র)
  

চক্রবৃদ্ধি মূলধনের সূত্র:

$$
A = P \left(1 + \frac{r}{100n} \right)^{nt}
$$

এখন বসাই:

$$
A = 10000 \left(1 + \frac{20}{100 \times 2} \right)^{2 \times 2}
= 10000 \left(1 + \frac{1}{10} \right)^4
= 10000 \times (1.1)^4
$$

এখন লক্ষ্য করি:

$$
1.1 = \frac{11}{10}
\Rightarrow (1.1)^4 = \left(\frac{11}{10}\right)^4 = \frac{11^4}{10^4}
$$

অতএব,

$$
A = 10000 \times \frac{11^4}{10^4} = \frac{10000 \times 11^4}{10^4}
= \frac{10^4 \times 11^4}{10^4} = 11^4
$$

ব্যাখ্যাঃ আমরা চক্রবৃদ্ধি সুদের সূত্র ব্যবহার করব:

$$
A = P \left(1 + \frac{r}{100}\right)^t
$$

যেখানে,

• $A$ = চক্রবৃদ্ধি মূলধন (Compound amount)
  
• $P$ = মূলধন
  
• $r$ = মুনাফার হার
  
• $t$ = সময় (বছরে)
  

এখন মান বসিয়ে হিসাব করি:

$$
A = 800 \left(1 + \frac{10}{100}\right)^2 = 800 \left(1.10\right)^2 = 800 \times 1.21 = 968
$$

ব্যাখ্যাঃ মনে করি, আসল $(P) = 450$ টাকা।
বার্ষিক সুদের হার $(r) = ৬\%$।
সুদে-আসলে $(A) = ৫৫৮$ টাকা।
সুতরাং, সুদ $(I) = A - P = ৫৫৮ - ৪৫০ = ১০৮$ টাকা।

আমরা জানি, সরল সুদের ক্ষেত্রে, সুদ $(I) = \frac{P \times r \times t}{100}$, যেখানে $t$ হলো বছর সংখ্যা।

এখন, আমরা $t$-এর মান বের করব:
$১০৮ = \frac{৪৫০ \times ৬ \times t}{১০০}$
$১০৮ = \frac{২৭০০ \times t}{১০০}$
$১০৮ = ২৭ \times t$
$t = \frac{১০৮}{২৭}$
$t = ৪$

সুতরাং, ৪ বছরে সুদে-আসলে ৫৫৮ টাকা হবে।

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত তথ্য:
আসল, $P = 1000$ টাকা
মুনাফার হার, $r = 10\% = \frac{10}{100} = 0.10$
সময়, $n = 2$ বছর

সরল মুনাফা (Simple Interest, $I_S$):
$I_S = \frac{P \times n \times r}{100}$ (যদি $r$ শতকরা হারে থাকে)
অথবা, $I_S = P \times n \times r$ (যদি $r$ দশমিকে থাকে)
$I_S = 1000 \times 2 \times 0.10$
$I_S = 200$ টাকা

চক্রবৃদ্ধি মুনাফা (Compound Interest, $I_C$):
চক্রবৃদ্ধি মূলধন, $A = P(1+r)^n$
$A = 1000(1+0.10)^2$
$A = 1000(1.10)^2$
$A = 1000 \times 1.21$
$A = 1210$ টাকা

চক্রবৃদ্ধি মুনাফা, $I_C = A - P$
$I_C = 1210 - 1000$
$I_C = 210$ টাকা

মুনাফার পার্থক্য:
পার্থক্য = চক্রবৃদ্ধি মুনাফা - সরল মুনাফা
পার্থক্য = $I_C - I_S$
পার্থক্য = $210 - 200$
পার্থক্য = $10$ টাকা

সুতরাং, সরল ও চক্রবৃদ্ধির মুনাফার পার্থক্য হলো $10$ টাকা।

ব্যাখ্যাঃ মনে করি, আসল (Principal) = $P$ টাকা।
মুনাফা-আসল (Amount) = $5500$ টাকা।
সময় (Time) = $3$ বছর।

দেওয়া আছে, মুনাফা আসলের $\frac{3}{8}$ অংশ।
অর্থাৎ, মুনাফা (Interest) $I = P \times \frac{3}{8}$।

আমরা জানি, মুনাফা-আসল = আসল + মুনাফা
$5500 = P + P \times \frac{3}{8}$
$5500 = P (1 + \frac{3}{8})$
$5500 = P (\frac{8+3}{8})$
$5500 = P \times \frac{11}{8}$
$P = 5500 \times \frac{8}{11}$
$P = 500 \times 8$
$P = 4000$ টাকা।

তাহলে আসল হলো $4000$ টাকা।

এখন, মুনাফা নির্ণয় করি:
মুনাফা $I = 5500 - P = 5500 - 4000 = 1500$ টাকা।
অথবা, $I = P \times \frac{3}{8} = 4000 \times \frac{3}{8} = 500 \times 3 = 1500$ টাকা।

এখন আমাদের মুনাফার হার (Rate of Interest) $R$ নির্ণয় করতে হবে।
আমরা জানি, $I = \frac{PRT}{100}$
এখানে, $I = 1500$, $P = 4000$, $T = 3$ বছর।

$1500 = \frac{4000 \times R \times 3}{100}$
$1500 = 40 \times R \times 3$
$1500 = 120 R$
$R = \frac{1500}{120}$
$R = \frac{150}{12}$
$R = \frac{25}{2}$
$R = 12.5\%$

সুতরাং, মুনাফার হার হলো $12.5\%$।

ব্যাখ্যাঃ আমরা দুটি বিনিয়োগের মোট মুনাফা এবং মোট মূলধন হিসাব করব।

প্রথম বিনিয়োগ:
মূলধন (P1) = ৩০০০ টাকা
মুনাফার হার (R1) = ১০% = $\frac{10}{100}$
মুনাফা (I1) = $P1 \times R1 = 3000 \times \frac{10}{100} = 300$ টাকা

দ্বিতীয় বিনিয়োগ:
মূলধন (P2) = ২০০০ টাকা
মুনাফার হার (R2) = ৮% = $\frac{8}{100}$
মুনাফা (I2) = $P2 \times R2 = 2000 \times \frac{8}{100} = 160$ টাকা

মোট মূলধন:
মোট মূলধন = $P1 + P2 = 3000 + 2000 = 5000$ টাকা

মোট মুনাফা:
মোট মুনাফা = $I1 + I2 = 300 + 160 = 460$ টাকা

গড় মুনাফার হার:
গড় মুনাফার হার = $\frac{\text{মোট মুনাফা}}{\text{মোট মূলধন}} \times 100\%$
গড় মুনাফার হার = $\frac{460}{5000} \times 100\%$
গড় মুনাফার হার = $\frac{460}{50} \%$
গড় মুনাফার হার = $9.2\%$

সুতরাং, মোট মূলধনের উপর গড়ে শতকরা ৯.২% হার মুনাফা পাওয়া যাবে।

ব্যাখ্যাঃ সরল সুদ নির্ণয়ের সূত্র হলো: \[ \text{সুদ} = \frac{P \times r \times t}{100} \] যেখানে: - \(P\) = মূলধন = ১০,০০০ টাকা - \(r\) = সুদের হার = ৬% - \(t\) = সময় = ৯ মাস = \(\frac{9}{12}\) বছর = \(\frac{3}{4}\) বছর এখন মানগুলি বসালে: \[ \text{সুদ} = \frac{10,000 \times 6 \times \frac{3}{4}}{100} \] \[ \text{সুদ} = \frac{10,000 \times 6 \times 3}{100 \times 4} \] \[ \text{সুদ} = \frac{180,000}{400} \] \[ \text{সুদ} = 450 \] ### উত্তর: \[ \boxed{450 \text{ টাকা}} \]

ব্যাখ্যাঃ সমস্যাটি সমাধান করতে আমরা সরল সুদের সূত্র ব্যবহার করব। সরল সুদের সূত্র হলো: \[ \text{সুদ} = \frac{P \times r \times t}{100} \] যেখানে: - \( P \) = মূলধন (যে টাকা বিনিয়োগ করা হবে) - \( r \) = বার্ষিক সুদের হার - \( t \) = সময় (বছরে) প্রদত্ত তথ্য: - সুদের হার (\( r \)) = \( 4\frac{1}{2}\% = \frac{9}{2}\% \) - সময় (\( t \)) = 4 বছর - সুদ-আসল (মূলধন + সুদ) = ৮২৬ টাকা আমরা জানি, সুদ-আসল = মূলধন + সুদ। তাই: \[ 826 = P + \frac{P \times \frac{9}{2} \times 4}{100} \] এখন সমীকরণটি সমাধান করা যাক: \[ 826 = P + \frac{P \times 18}{100} \] \[ 826 = P \left(1 + \frac{18}{100}\right) \] \[ 826 = P \times \frac{118}{100} \] \[ P = \frac{826 \times 100}{118} \] \[ P = \frac{82600}{118} \] \[ P = 700 \] উত্তর: ৭০০ টাকা বিনিয়োগ করলে ৪ বছরে তা ৮২৬ টাকা হবে।

ব্যাখ্যাঃ ধরুন, বার্ষিক সুদের হার হলো \( r\)%।

৫০০ টাকার ৪ বছরের সুদ হলো: \[ \frac{৫০০ \times r \times ৪}{১০০} = ২০r \] ৬০০ টাকার ৫ বছরের সুদ হলো: \[ \frac{৬০০ \times r \times ৫}{১০০} = ৩০r \] এই দুইটি সুদের যোগফল হলো: \[ ২০r + ৩০r = ৫০r \] প্রশ্নে দেওয়া অনুযায়ী, এই দুইটি সুদের যোগফল ৫০০ টাকা: \[ ৫০r = ৫০০ \] \[ r = \frac{৫০০}{৫০} \] \[ r = ১০ \] অতএব, বার্ষিক সুদের হার হলো ১০%।

ব্যাখ্যাঃ আমরা সরল সুদের সূত্র ব্যবহার করে সমাধান করতে পারি। সরল সুদের সূত্র হলো: \[ A = P \left(1 + \frac{r \cdot t}{100}\right) \] এখানে, \( A \) = সুদে-আসলে মোট টাকা (৫০,০০০ টাকা) \( P \) = মূলধন \( r \) = সুদের হার (৫%) \( t \) = সময়কাল (২০ বছর)

সূত্র অনুযায়ী, \[ ৫০,০০০ = P \left(1 + \frac{৫ \times ২০}{১০০}\right) \] \[ ৫০,০০০ = P \left(1 + \frac{১০০}{১০০}\right) \] \[ ৫০,০০০ = P \left(1 + 1\right) \] \[ ৫০,০০০ = P \left(2\right) \] \[ P = \frac{৫০,০০০}{2} \] \[ P = ২৫,০০০ \] অতএব, মূলধন ছিল ২৫,০০০ টাকা।

ব্যাখ্যাঃ ধরা যাক, মূলধন \( P \) টাকা এবং সরল সুদের হার শতকরা \( r \)।

আমাদের দেওয়া আছে যে ৮ বছরে সুদে এবং আসলে মূলধনের তিনগুণ হবে, অর্থাৎ: \[ P + P \times \frac{r \times 8}{100} = 3P \] এখন সমীকরণটি সমাধান করি: \[ P \left( 1 + \frac{r \times 8}{100} \right) = 3P \] \[ 1 + \frac{r \times 8}{100} = 3 \] \[ \frac{r \times 8}{100} = 3 - 1 \] \[ \frac{r \times 8}{100} = 2 \] \[ r \times 8 = 2 \times 100 \] \[ r \times 8 = 200 \] \[ r = \frac{200}{8} \] \[ r = 25 \] অতএব, সরল সুদের হার শতকরা ২৫ টাকা হলে যে কোনো মূলধন ৮ বছরে সুদে-আসলে তিনগুণ হবে।

ব্যাখ্যাঃ সরল সুদের সূত্র হলো:
\[ \text{সুদ} = \frac{P \cdot R \cdot T}{100} \]
যেখানে:
\(P =\) মূলধন = ১০,০০০ টাকা
\(R =\) বার্ষিক হার = ৬%
\(T =\) সময় = \(\frac{৯}{১২} = ০.৭৫\) বছর (কারণ ৯ মাস = ০.৭৫ বছর)

এখন মান বসিয়ে পাই:
\[ \text{সুদ} = \frac{10000 \cdot 6 \cdot 0.75}{100} \] \[ \text{সুদ} = \frac{45000}{100} = 450 \]
উত্তর: সুদ হবে ৪৫০ টাকা।

ব্যাখ্যাঃ এই সমস্যাটি সমাধানের জন্য আমরা সরল সুদ এবং চক্রবৃদ্ধি সুদ বিবেচনা করতে পারি। আপনি যদি সরল সুদ নিয়ে প্রশ্ন করেন, তাহলে এটি সমাধান হবে:

সরল সুদের সূত্র: \[ S = \frac{P \times R \times T}{100} \] যেখানে:
\( S \) = সুদের পরিমাণ
\( P \) = আসল অর্থ
\( R \) = সুদের হার (% এ)
\( T \) = সময় (বছর)

এক্ষেত্রে, সুদে আসল দ্বিগুণ হতে হবে। অর্থাৎ,
\( S = P \)
তাহলে সূত্র হবে: \[ P = \frac{P \times R \times T}{100} \] \[ 1 = \frac{R \times T}{100} \] \( R = 5 \) বসিয়ে দিলে: \[ 1 = \frac{5 \times T}{100} \] \[ T = \frac{100}{5} = 20 \, \text{বছর} \] সুতরাং, সরল সুদে আসল দ্বিগুণ হতে ২০ বছর লাগবে।

ব্যাখ্যাঃ এই সমস্যাটি সমাধানে সরল সুদের সূত্র ব্যবহার করব। সরল সুদের সূত্রটি হলো: \[ S = \frac{P \times R \times T}{100} \] এখানে:
\( S \) = মুনাফার পরিমাণ
\( P \) = আসল টাকার পরিমাণ
\( R \) = বার্ষিক সুদের হার (যা আমরা খুঁজছি)
\( T \) = সময় (বছর)

দেওয়া তথ্য:
- আসল টাকা (\( P \)) = ৩,০০,০০০ টাকা
- মুনাফা (\( S \)) = আসল টাকার \( ১\frac{১}{৪} \) অংশ অর্থাৎ, \[ S = P \times \frac{৫}{৪} = ৩,০০,০০০ \times \frac{৫}{৪} = ৩,৭৫,০০০ \, \text{টাকা} \] - সময় (\( T \)) = \( ৭\frac{১}{২} \) বছর = \( ৭.৫ \) বছর

এখন সূত্রে \( S, P \), এবং \( T \) বসাই: \[ ৩,৭৫,০০০ = \frac{৩,০০,০০০ \times R \times ৭.৫}{১০০} \] \[ R = \frac{৩,৭৫,০০০ \times ১০০}{৩,০০,০০০ \times ৭.৫} \] \[ R = \frac{৩৭,৫,০০,০০০}{২২,৫০,০০০} \] \[=১৬\frac{২}{৩}\text{%}\] অতএব, বার্ষিক সুদের হার \(১৬\frac{২}{৩}\)%।

ব্যাখ্যাঃ চক্রবৃদ্ধি মূলধনের সূত্র: \[ A = P \left(1 + \frac{r}{100}\right)^n \] এখানে:
- \( A \) = চক্রবৃদ্ধি মূলধন
- \( P \) = মূল টাকা (২০০০ টাকা)
- \( r \) = বার্ষিক সুদের হার (১০%)
- \( n \) = সময়কাল (২ বছর)

ধাপে ধাপে সমাধান:
১. সূত্রে মান বসাই: \[ A = 2000 \left(1 + \frac{10}{100}\right)^2 \] ২. ভগ্নাংশ সরলীকরণ: \[ A = 2000 \left(1 + 0.1\right)^2 \] ৩. বন্ধনীর ভিতরের হিসাব: \[ A = 2000 \times (1.1)^2 \] ৪. \( (1.1)^2 \) এর মান: \[ 1.1^2 = 1.21 \] ৫. গুণফল বের করি: \[ A = 2000 \times 1.21 = 2420 \] উত্তর: চক্রবৃদ্ধি মূলধন হলো ২,৪২০ টাকা।

ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রথমে ৮% সরল মুনাফায় ৬,০০০ টাকা বিনিয়োগে ৫ বছরে যে মুনাফা হবে, সেটি নির্ণয় করি।

সরল মুনাফার সূত্র: \[ M = \frac{P \times R \times T}{100} \] যেখানে, \( P = 6000 \) টাকা,
\( R = 8\% \),
\( T = 5 \) বছর। \[ M = \frac{6000 \times 8 \times 5}{100} \] \[ = \frac{240000}{100} = 2400 \] এখন, এই ২,৪০০ টাকা মুনাফা পেতে হলে ১০,০০০ টাকা বিনিয়োগে ৩ বছরে সরল হার \( R \) কত হবে?

আমরা আবার সরল মুনাফার সূত্র প্রয়োগ করি: \[ 2400 = \frac{10000 \times R \times 3}{100} \] \[ 2400 \times 100 = 10000 \times R \times 3 \] \[ 240000 = 30000R \] \[ R = \frac{240000}{30000} = 8\% \] সুতরাং, সরল মুনাফার হার ৮% বা ০.০৮

ব্যাখ্যাঃ ধরি, মূলধন = $P$ টাকা
সুদের হার = $r\%$ বার্ষিক
সময় = $t = 10$ বছর
সুদে মূলে তিনগুণ অর্থাৎ, সুদ + মূলধন = $3P$ টাকা
সুতরাং, সুদ (Interest) = $3P - P = 2P$ টাকা

আমরা জানি, সরল সুদের ক্ষেত্রে, সুদ (I) = $\frac{P \times r \times t}{100}$

এখানে, $I = 2P$, $t = 10$ বছর। আমাদের $r$ এর মান বের করতে হবে।

মানগুলো সূত্রে বসিয়ে পাই:
$2P = \frac{P \times r \times 10}{100}$
$2 = \frac{r \times 10}{100}$
$2 = \frac{r}{10}$

এখন, $r$ এর মান বের করার জন্য উভয় পাশে ১০ দিয়ে গুণ করি:
$2 \times 10 = r$
$r = 20$

সুতরাং, শতকরা বার্ষিক ২০% হার সুদে কোন মূলধন ১০ বছরে সুদে মূলে তিনগুণ হবে।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, মূলধন \(P\) টাকা এবং সময় \(t\) বছর পরে তা আসলের দ্বিগুণ অর্থাৎ \(2P\) হবে। বার্ষিক সুদের হার \(r = 10\%\)।

সুতরাং, সুদ (Interest), \(I = 2P - P = P\) টাকা।

আমরা জানি, সরল সুদের ক্ষেত্রে, \(I = \frac{P \times r \times t}{100}\)

এখানে, \(I = P\) এবং \(r = 10\)। আমাদের \(t\) এর মান বের করতে হবে।

মানগুলো সূত্রে বসিয়ে পাই: $$P = \frac{P \times 10 \times t}{100}$$ $$1 = \frac{10 \times t}{100}$$ $$1 = \frac{t}{10}$$ $$1 \times 10 = t$$ $$t = 10$$ অতএব, বার্ষিক শতকরা ১০ টাকা হারে সুদে কোনো মূলধন ১০ বছর পরে আসলের দ্বিগুণ হবে।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, সুদের হার ছিল $r$ %।

প্রথম ক্ষেত্রে:
আসল ($P_1$) = ৩০০ টাকা
সময় ($T_1$) = ২ বছর
সুদ ($I_1$) = $\frac{P_1 \times T_1 \times r}{100} = \frac{৩০০ \times ২ \times r}{১০০} = ৬r$ টাকা

দ্বিতীয় ক্ষেত্রে:
আসল ($P_2$) = ৫০০ টাকা
সময় ($T_2$) = ৫ বছর
সুদ ($I_2$) = $\frac{P_2 \times T_2 \times r}{100} = \frac{৫০০ \times ৫ \times r}{১০০} = ২৫r$ টাকা

মোট সুদ = ১৫৫ টাকা
$I_1 + I_2 = ১৫৫$
$৬r + ২৫r = ১৫৫$
$৩১r = ১৫৫$
$r = \frac{১৫৫}{৩১}$
$r = ৫$

সুতরাং, সুদের হার ছিল ৫%।

ব্যাখ্যাঃ প্রশ্নে দেওয়া আছে,
সুদের হার (r) = $12\frac{1}{2} \% = \frac{25}{2}\% = 12.5\%$
সময় (t) = 4 বছর
মোট সুদ (I) = 100 টাকা

আমরা জানি,
সুদ = আসল $\times$ সুদের হার $\times$ সময়
I = P $\times$ r $\times$ t
$100 = P \times \frac{12.5}{100} \times 4$
$100 = P \times \frac{50}{100}$
$100 = P \times \frac{1}{2}$
$P = 100 \times 2$
$P = 200$

সুতরাং, 200 টাকার 4 বছরের সুদ 100 টাকা হবে।