প্রশ্নঃ একটি আয়তকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ২০% বৃদ্ধি ও প্রস্থ ১০% হ্রাস করা হলে, ক্ষেত্রফলের শতকরা কত পরিবর্তন হবে?
[ বিসিএস ১৪তম ]
ক. ৮% (বৃদ্ধি)
খ. ৮% (হ্রাস)
গ. ১০৮% (বৃদ্ধি)
ঘ. ১০৮% (হ্রাস)
উত্তরঃ ৮% (বৃদ্ধি)
ব্যাখ্যাঃ ধরি, আয়তকার ক্ষেত্রটির মূল দৈর্ঘ্য \( L \) এবং প্রস্থ \( W \)।
মুল ক্ষেত্রফল হলো: \[ A_1 = L \times W \] দৈর্ঘ্য ২০% বৃদ্ধি করা হলে নতুন দৈর্ঘ্য হবে: \[ L' = L \times (১ + ০.২০) = ১.২০L \] প্রস্থ ১০% হ্রাস করা হলে নতুন প্রস্থ হবে: \[ W' = W \times (১ - ০.১০) = ০.৯০W \] নতুন ক্ষেত্রফল হবে: \[ A_2 = L' \times W' = ১.২০L \times ০.৯০W = ১.০৮LW \] এখন, ক্ষেত্রফলের পরিবর্তন নির্ণয় করি: \[ \Delta A = A_2 - A_1 = ১.০৮LW - LW = ০.০৮LW \] ক্ষেত্রফলের পরিবর্তনের শতকরা হার: \[ \text{Percentage Change} = \left( \frac{\Delta A}{A_1} \right) \times ১০০ \] \[ = \left( \frac{০.০৮LW}{LW} \right) \times ১০০ \] \[ = ০.০৮ \times ১০০ \] \[ = ৮ \% \] অতএব, ক্ষেত্রফলের শতকরা ৮% বৃদ্ধি হবে।
মুল ক্ষেত্রফল হলো: \[ A_1 = L \times W \] দৈর্ঘ্য ২০% বৃদ্ধি করা হলে নতুন দৈর্ঘ্য হবে: \[ L' = L \times (১ + ০.২০) = ১.২০L \] প্রস্থ ১০% হ্রাস করা হলে নতুন প্রস্থ হবে: \[ W' = W \times (১ - ০.১০) = ০.৯০W \] নতুন ক্ষেত্রফল হবে: \[ A_2 = L' \times W' = ১.২০L \times ০.৯০W = ১.০৮LW \] এখন, ক্ষেত্রফলের পরিবর্তন নির্ণয় করি: \[ \Delta A = A_2 - A_1 = ১.০৮LW - LW = ০.০৮LW \] ক্ষেত্রফলের পরিবর্তনের শতকরা হার: \[ \text{Percentage Change} = \left( \frac{\Delta A}{A_1} \right) \times ১০০ \] \[ = \left( \frac{০.০৮LW}{LW} \right) \times ১০০ \] \[ = ০.০৮ \times ১০০ \] \[ = ৮ \% \] অতএব, ক্ষেত্রফলের শতকরা ৮% বৃদ্ধি হবে।
Related MCQ
প্রশ্নঃ একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য $$4\sqrt{2}$$ একক হলে ঐ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?
[ বিসিএস ৩৬তম ]
ক. 24
খ. 8
গ. 16
ঘ. 32
উত্তরঃ 16
ব্যাখ্যাঃ সমাধানটি নিচে দেওয়া হলো:
ধরি, বর্গক্ষেত্রটির প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য = $a$ একক।
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয়ের সূত্র হলো = $a\sqrt{2}$ একক।
প্রশ্নে দেওয়া আছে, কর্ণের দৈর্ঘ্য = $4\sqrt{2}$ একক।
তাহলে,
$a\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$
উভয় পক্ষকে $\sqrt{2}$ দিয়ে ভাগ করে পাই:
$a = 4$ একক।
এখন, বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হবে।
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (বাহুর দৈর্ঘ্য)$^২$ = $a^2$
ক্ষেত্রফল = $(4)^2$ বর্গ একক
ক্ষেত্রফল = $16$ বর্গ একক।
সুতরাং, ঐ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হলো ১৬ বর্গ একক।
ধরি, বর্গক্ষেত্রটির প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য = $a$ একক।
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয়ের সূত্র হলো = $a\sqrt{2}$ একক।
প্রশ্নে দেওয়া আছে, কর্ণের দৈর্ঘ্য = $4\sqrt{2}$ একক।
তাহলে,
$a\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$
উভয় পক্ষকে $\sqrt{2}$ দিয়ে ভাগ করে পাই:
$a = 4$ একক।
এখন, বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হবে।
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (বাহুর দৈর্ঘ্য)$^২$ = $a^2$
ক্ষেত্রফল = $(4)^2$ বর্গ একক
ক্ষেত্রফল = $16$ বর্গ একক।
সুতরাং, ঐ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হলো ১৬ বর্গ একক।
প্রশ্নঃ একটি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য ৮ ফুট হলে, ঐ বর্গক্ষেত্রের কর্ণের ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?
[ বিসিএস ২৬তম ]
ক. ১৫৬ বর্গফুট
খ. ১৬৪ বর্গফুট
গ. ১২৮ বর্গফুট
ঘ. ২১৮ বর্গফুট
উত্তরঃ ১২৮ বর্গফুট
ব্যাখ্যাঃ প্রথমে, দেওয়া বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য দেওয়া আছে ৮ ফুট। আমরা কর্ণ বের করে, কর্ণের ওপর অঙ্কিত নতুন বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করবো। --- ### ধাপ ১: বর্গক্ষেত্রের কর্ণ নির্ণয় বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য বের করার জন্য পাইথাগোরাস সূত্র প্রয়োগ করি: \[ \text{কর্ণ} = \sqrt{\text{বাহু}^2 + \text{বাহু}^2} \] \[ = \sqrt{8^2 + 8^2} \] \[ = \sqrt{64 + 64} \] \[ = \sqrt{128} \] \[ = 8\sqrt{2} \text{ ফুট} \] --- ### ধাপ ২: কর্ণের ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কোনো বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হয়, (বাহুর দৈর্ঘ্য)²। এখানে, নতুন বর্গক্ষেত্রের বাহু হচ্ছে কর্ণ 8√2 ফুট। \[ \text{নতুন ক্ষেত্রফল} = (8\sqrt{2})^2 \] \[ = 64 \times 2 \] \[ = 128 \text{ বর্গফুট} \] --- ### উত্তর: নতুন বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হবে ১২৮ বর্গফুট। ✅
প্রশ্নঃ চারটি সমান বাহু দ্বারা সীমাবদ্ধ একটি ক্ষেত্র যার একটি কোণও সমকোণ নয়, এরূপ চিত্রকে বলা হয়-
[ বিসিএস ১২তম ]
ক. বর্গক্ষেত্র
খ. চতুর্ভুজ
গ. রম্বস
ঘ. সামান্তরিক
উত্তরঃ রম্বস
ব্যাখ্যাঃ
চারটি সমান বাহু দ্বারা সীমাবদ্ধ একটি ক্ষেত্র যার কোনো কোণই সমকোণ নয়, এরূপ চিত্রকে বলা হয় বাঁকা চতুর্ভুজ বা রম্বাস।
যদি এর সকল বাহু সমান এবং কোনো কোণ সমকোণ না হয়, তবে এটি একটি রম্বাস।
প্রশ্নঃ \(ABCD\) চতুর্ভুজে \(AB || CD, AC = BD\) এবং \(∠A=90°\) হলে, সঠিক চতুর্ভুজ কোনটি?
[ বিসিএস ৩২তম ]
ক. সামান্তরিক
খ. রম্বস
গ. ট্রাপিজিয়াম
ঘ. আয়তক্ষেত্র
উত্তরঃ আয়তক্ষেত্র
ব্যাখ্যাঃ
\[AB||CD\] \[এবং AC=BD\] \[এবং ∠A=90°\]
\[AB||CD\] \[এবং AC=BD\] \[এবং ∠A=90°\]
প্রশ্নঃ একটি আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা ৪ মিটার বেশি। ঘরটির পরিসীমা ৩২ মিটার হলে ঘরটির দৈর্ঘ্য কত?
[ বিসিএস ৩২তম ]
ক. ৬ মিটার
খ. ১০ মিটার
গ. ১৮ মিটার
ঘ. ১২ মিটার
উত্তরঃ ১০ মিটার
ব্যাখ্যাঃ
ধরি, ঘরটির প্রস্থ হলো $x$ মিটার।
তাহলে, ঘরটির দৈর্ঘ্য হবে $(x+৪)$ মিটার।
আমরা জানি, আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = $২ \times (\text{দৈর্ঘ্য} + \text{প্রস্থ})$।
প্রশ্নমতে,
$২ \times (x+৪+x) = ৩২$
$২ \times (২x+৪) = ৩২$
$২x+৪ = \frac{৩২}{২}$
$২x+৪ = ১৬$
$২x = ১৬-৪$
$২x = ১২$
$x = ৬$
সুতরাং, প্রস্থ = ৬ মিটার।
এবং দৈর্ঘ্য = $(৬+৪) = ১০$ মিটার।
ধরি, ঘরটির প্রস্থ হলো $x$ মিটার।
তাহলে, ঘরটির দৈর্ঘ্য হবে $(x+৪)$ মিটার।
আমরা জানি, আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = $২ \times (\text{দৈর্ঘ্য} + \text{প্রস্থ})$।
প্রশ্নমতে,
$২ \times (x+৪+x) = ৩২$
$২ \times (২x+৪) = ৩২$
$২x+৪ = \frac{৩২}{২}$
$২x+৪ = ১৬$
$২x = ১৬-৪$
$২x = ১২$
$x = ৬$
সুতরাং, প্রস্থ = ৬ মিটার।
এবং দৈর্ঘ্য = $(৬+৪) = ১০$ মিটার।
প্রশ্নঃ যে চতুর্ভুজের কেবল দুইটি বিপরীত বাহু পরস্পর সমান্তরাল তাকে কি বলে?
[ প্রা.বি.স.শি. 02-02-2024 ]
ক. সামন্তরিক
খ. চতুর্ভূজ
গ. ট্রাপিজিয়াম
ঘ. রম্বস
উত্তরঃ ট্রাপিজিয়াম
ব্যাখ্যাঃ
যে চতুর্ভুজের কেবল দুইটি বিপরীত বাহু পরস্পর সমান্তরাল, তাকে সমলম্ব চতুর্ভুজ (Trapezium বা Trapezoid) বলে।
এটি একটি দ্বি-মাত্রিক জ্যামিতিক আকার যেখানে সমান্তরাল দুইটি বাহুকে ভিত্তি (bases) এবং বাকি দুইটি বাহুকে পার্শ্ব (legs) বলা হয়।
প্রশ্নঃ একটি বর্গাকার বাগানের ক্ষেত্রফল ১ হেক্টর হলে বাগানটির পরিসীমা কত?
[ প্রা.বি.স.শি. 22-04-2022 ]
ক. ২০০ মিটার
খ. ৫০০ মিটার
গ. ৪০০ মিটার
ঘ. ৩০০ মিটার
উত্তরঃ ৪০০ মিটার
ব্যাখ্যাঃ বর্গাকার বাগানের ক্ষেত্রফল \( ১ \, \text{হেক্টর} = ১০,০০০ \, \text{বর্গমিটার} \)।
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সূত্র হলো: \[ \text{ক্ষেত্রফল} = \text{বাহু}^2 \] তাহলে, \( \text{বাহু} = \sqrt{১০,০০০} = ১০০ \, \text{মিটার} \)।
এখন, বর্গক্ষেত্রের পরিসীমার সূত্র হলো: \[ \text{পরিসীমা} = ৪ \times \text{বাহু} \] অতএব: \[ \text{পরিসীমা} = ৪ \times ১০০ = ৪০০ \, \text{মিটার} \] উত্তর: বাগানটির পরিসীমা হলো ৪০০ মিটার।
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সূত্র হলো: \[ \text{ক্ষেত্রফল} = \text{বাহু}^2 \] তাহলে, \( \text{বাহু} = \sqrt{১০,০০০} = ১০০ \, \text{মিটার} \)।
এখন, বর্গক্ষেত্রের পরিসীমার সূত্র হলো: \[ \text{পরিসীমা} = ৪ \times \text{বাহু} \] অতএব: \[ \text{পরিসীমা} = ৪ \times ১০০ = ৪০০ \, \text{মিটার} \] উত্তর: বাগানটির পরিসীমা হলো ৪০০ মিটার।
প্রশ্নঃ একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে ১৫০ মিটার ও ১০০ মিটার । বাগানটির দৈর্ঘ্য ২০ % এবং প্রস্থ ১০% বৃদ্ধি করলে নতুন বাগানটির ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার হবে ?
[ প্রা.বি.স.শি. 31-05-2019 ]
ক. ১৮৫০০
খ. ১৫৫০০
গ. ২০৫০০
ঘ. ১৯৮০০
উত্তরঃ ১৯৮০০
ব্যাখ্যাঃ একটি আয়তাকার বাগানের বর্তমান দৈর্ঘ্য = ১৫০ মিটার
বর্তমান প্রস্থ = ১০০ মিটার
বর্তমান ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ = ১৫০ মিটার $\times$ ১০০ মিটার = ১৫০০০ বর্গমিটার।
দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি:
দৈর্ঘ্য ২০% বৃদ্ধি পেলে, নতুন দৈর্ঘ্য হবে = ১৫০ + (১৫০ এর ২০%)
= ১৫০ + $(\frac{২০}{১০০} \times ১৫০)$
= ১৫০ + $(২ \times ১৫)$
= ১৫০ + ৩০
= ১৮০ মিটার
প্রস্থ বৃদ্ধি:
প্রস্থ ১০% বৃদ্ধি পেলে, নতুন প্রস্থ হবে = ১০০ + (১০০ এর ১০%)
= ১০০ + $(\frac{১০}{১০০} \times ১০০)$
= ১০০ + ১০
= ১১০ মিটার
নতুন বাগানটির ক্ষেত্রফল = নতুন দৈর্ঘ্য $\times$ নতুন প্রস্থ = ১৮০ মিটার $\times$ ১১০ মিটার
= ১৯৬০০ বর্গমিটার
উত্তর: নতুন বাগানটির ক্ষেত্রফল ১৯৬০০ বর্গমিটার হবে।
বর্তমান প্রস্থ = ১০০ মিটার
বর্তমান ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ = ১৫০ মিটার $\times$ ১০০ মিটার = ১৫০০০ বর্গমিটার।
দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি:
দৈর্ঘ্য ২০% বৃদ্ধি পেলে, নতুন দৈর্ঘ্য হবে = ১৫০ + (১৫০ এর ২০%)
= ১৫০ + $(\frac{২০}{১০০} \times ১৫০)$
= ১৫০ + $(২ \times ১৫)$
= ১৫০ + ৩০
= ১৮০ মিটার
প্রস্থ বৃদ্ধি:
প্রস্থ ১০% বৃদ্ধি পেলে, নতুন প্রস্থ হবে = ১০০ + (১০০ এর ১০%)
= ১০০ + $(\frac{১০}{১০০} \times ১০০)$
= ১০০ + ১০
= ১১০ মিটার
নতুন বাগানটির ক্ষেত্রফল = নতুন দৈর্ঘ্য $\times$ নতুন প্রস্থ = ১৮০ মিটার $\times$ ১১০ মিটার
= ১৯৬০০ বর্গমিটার
উত্তর: নতুন বাগানটির ক্ষেত্রফল ১৯৬০০ বর্গমিটার হবে।