ব্যাখ্যাঃ এই প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য, আমরা প্রথমে ১ থেকে ৫০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলির বর্গের সমষ্টি বের করার চেষ্টা করব। আমরা জানি যে, $${১}^{২}+{২}^{২}+{৩}^{২}+...+n^{২}=\frac{n(n+১)(২n+১)}{৬}$$ এখানে, n = ৫০। সুতরাং, $${১}^{২}+{২}^{২}+{৩}^{২}+...+৫{০}^{২}=\frac{৫০(৫০+১)(২\times ৫০+১)}{৬}$$ $$=\frac{৫০\times ৫১\times ১০১}{৬}$$ $$=\frac{২৫৭৫৫০}{৬}$$ $$=৪২৯২৫$$
অতএব, $${১}^{২}+{২}^{২}+{৩}^{২}+...+৫{০}^{২}=৪২৯২৫।$$

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত ধারাটি হলো: $$১,৩,৬,১০,১৫,২১,\dots \dots$$ এই ধারাটি একটি ত্রিভুজ সংখ্যা ধারা (Triangular Number Sequence)। এই ধারার প্রতিটি পদ হলো ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল। ### ধারাটির প্যাটার্ন: - ১ম পদ: $১=১$ - ২য় পদ: $৩=১+২$ - ৩য় পদ: $৬=১+২+৩$ - ৪র্থ পদ: $১০=১+২+৩+৪$ - ৫ম পদ: $১৫=১+২+৩+৪+৫$ - ৬ষ্ঠ পদ: $২১=১+২+৩+৪+৫+৬$ এভাবে, $n$-তম পদ হলো প্রথম $n$টি স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল। ত্রিভুজ সংখ্যার সাধারণ সূত্র হলো: \[ Tn = \frac{n(n + 1)}{2} \] যেখানে, \(Tn\) হলো ধারাটির $n$-তম পদ। ### দশম পদ নির্ণয়: দশম পদের জন্য $n=১০$। সূত্রে মান বসিয়ে পাই: $$T_{১০}=\frac{১০(১০+১)}{২}=\frac{১০\times ১১}{২}=\frac{১১০}{২}=৫৫$$ ### উত্তর: ধারাটির দশম পদ হলো ৫৫।

ব্যাখ্যাঃ আমরা এখানে গাণিতিক ধারার একটি সাধারণ সূত্র ব্যবহার করতে পারি: $1+2+3+...+n$ এর যোগফল নির্ণয়ের সূত্র হল: \[ Sn = \frac{n(n+1)}{2} \] এই ক্ষেত্রে, $n=99$, তাই আমরা এটি সূত্রে স্থাপন করতে পারি: \[ S{99} = \frac{99(99+1)}{2} = \frac{99 \times 100}{2} = 4950 \] সুতরাং, $1+2+3+...+99=4950$।

ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রদত্ত ধারাটি লক্ষ্য করলে দেখতে পারি যে এটি লগারিদমিক সমষ্টি। ধারাটির সাধারণ পদের রূপ হলো: $$\log (2)+\log (4)+\log (8)+\dots$$ যদি আমরা লগারিদমিক সূত্র ব্যবহার করি: $$\log (a\times b)=\log (a)+\log (b)$$ এই সূত্রটি ব্যবহার করে, ধারাটির প্রথম দশটি পদের সমষ্টি হলো: $$\log (2)+\log (2^2)+\log (2^3)+\dots +\log (2^{10})$$ এখন, এই লগারিদমিক সমষ্টিটিকে একটি লগারিদম হিসেবে রূপান্তরিত করতে পারি: $$\log (2^1\times 2^2\times 2^3\times \dots \times 2^{10})$$ আমরা দেখতে পাচ্ছি যে এটি আসলে একটি গুণন সমীকরণ: $$\log (2^{1+2+3+\dots +10})$$ প্রথম দশটি পদ গণনা করে: $$1+2+3+\dots +10=\frac{10(10+1)}{2}=55$$ অতএব, ধারাটির প্রথম দশটি পদের সমষ্টি হলো: $$\log (2^{55})$$ এবং শেষ পর্যন্ত আমরা পাই: $$55\log (2)$$ ধারণাটি আরও স্পষ্ট করার জন্য: $$\log (2^1)+\log (2^2)+\log (2^3)+\dots +\log (2^{10})=55\log (2)$$

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত ধারাটি হলো: $$1^2+3^2+5^2+\cdots +{31}^2$$ এটি একটি বর্গ ধারা যেখানে প্রতিটি পদ বিজোড় সংখ্যার বর্গ। প্রথম $n$ বিজোড় সংখ্যার বর্গের যোগফলের সূত্র হলো: \[ \sum{k=1}^{n} (2k-1)^2 = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3} \] প্রথমে আমরা $n$ এর মান নির্ণয় করব। ধারাটির শেষ পদ $31$ হলে: $$2n-1=31⟹2n=32⟹n=16$$ এখন সূত্রে $n=16$ বসালে: \[ \sum{k=1}^{16} (2k-1)^2 = \frac{16 \times 31 \times 33}{3} \] গুণফল নির্ণয়: $$16\times 31=496$$ $$496\times 33=16,368$$ $$\frac{16,368}{3}=5,456$$ ### উত্তর: $$\boxed{{\displaystyle 5,456}}$$

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সংখ্যাগুলি হল: ৯, ৩৬, ৮১, ১৪৪, ... এই সংখ্যাগুলি পর্যবেক্ষণ করলে দেখা যায় যে এগুলি পূর্ণবর্গ সংখ্যা: $$9=3^2$$ $$36=6^2$$ $$81=9^2$$ $$144={12}^2$$ এখানে বর্গের ভিত্তি সংখ্যাগুলি হল: ৩, ৬, ৯, ১২, ... এই ভিত্তি সংখ্যাগুলি প্রতিবার ৩ করে বৃদ্ধি পাচ্ছে। তাই পরবর্তী ভিত্তি সংখ্যা হবে: $$12+3=15$$ পরবর্তী সংখ্যাটি হবে: $${15}^2=225$$ উত্তর: $$\boxed{{\displaystyle 225}}$$

ব্যাখ্যাঃ কোনো সমান্তর প্রগমনে, ধারাটির প্রতিটি সংখ্যা পূর্বের সংখ্যার সাথে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যার যোগফল।

ধরি, প্রথম সংখ্যাটি $a=5$ এবং পার্থক্যটি $d$।

ধারাটির দ্বিতীয় সংখ্যা $a+d=17$। তাহলে আমরা $d$ বের করতে পারি: $$a+d=17$$ $$5+d=17$$ $$d=17-5$$ $$d=12$$
এখন, তৃতীয় সংখ্যাটি নির্ণয় করতে আমরা $a+2d$ ব্যবহার করব: $$a+2d=5+2\times 12$$ $$a+2d=5+24$$ $$a+2d=29$$ তাহলে, তৃতীয় সংখ্যাটি হল ২৯।

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সংখ্যা ১, ২, ৩, ৫, ৮, ১৩, ২১, ৩৪, … একটি ফিবোনাচ্চি ধারার উদাহরণ।

ফিবোনাচ্চি ধারার নিয়ম: \[ Fn = F{n-1} + F_{n-2} \] অর্থাৎ, প্রতিটি সংখ্যা আগের দুই সংখ্যার যোগফল।

### পরবর্তী সংখ্যা নির্ণয় শেষ দুটি সংখ্যা ২১ এবং ৩৪। তাহলে, পরবর্তী সংখ্যা হবে: $$21+34=55$$ ### উত্তর: পরবর্তী সংখ্যা ৫৫

ব্যাখ্যাঃ ধরুন, পরপর দশটি সংখ্যা হলো $a,a+1,a+2,\dots ,a+9$।

প্রথম ৫টি সংখ্যার যোগফল: $$a+(a+1)+(a+2)+(a+3)+(a+4)=৫৬০$$ এখন সমীকরণটি সমাধান করি: $$5a+10=৫৬০$$ $$5a=৫৬০-১০$$ $$5a=৫৫০$$ $$a=১১০$$ তাহলে পরপর দশটি সংখ্যা হলো: ১১০, ১১১, ১১২, ১১৩, ১১৪, ১১৫, ১১৬, ১১৭, ১১৮, ১১৯। শেষ ৫টি সংখ্যার যোগফল: $$১১৫+১১৬+১১৭+১১৮+১১৯=৫৮৫$$ অতএব, শেষ ৫টি সংখ্যার যোগফল হলো ৫৮৫।

ব্যাখ্যাঃ ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর যোগফল বের করার একটি সহজ পদ্ধতি হল গাণিতিক ধারা ব্যবহার করা। $$১+২+৩+\dots +১০০$$ আমরা জানি যে, $n$ সংখ্যার যোগফল বের করার সূত্র হলো: $$\text{Sum}=\frac{n(n+1)}{2}$$ এখানে $n=100$: $$\text{Sum}=\frac{100(100+1)}{2}=\frac{100\times 101}{2}=5050$$ অতএব, ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর যোগফল ৫০৫০।

ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রথমে দেখি যে সংখ্যাগুলো কোন নির্দিষ্ট ধারায় আছে কি না। দেওয়া সংখ্যাগুলো হলো: ৮১, ২৭, _, ৩, ১। প্রথম দুটি সংখ্যার ক্ষেত্রে পার্থক্য হলো: $$৮১={৩}^{৪}$$ $$২৭={৩}^{৩}$$ এখন, দেখতে পাচ্ছি যে এরা ৩ এর ঘাত। চলুন দেখি ধারাটি কীভাবে কাজ করে: $$৮১={৩}^{৪}$$ $$২৭={৩}^{৩}$$ $${৩}^{২}=৯$$ $$৩={৩}^{১}$$ $$১={৩}^{০}$$ অতএব, ৮১, ২৭, ৯, ৩, ১।
লুপ্ত সংখ্যা হলো ৯।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, আমরা $৮,১১,১৭,২৯,৫৩,....$ ক্রমটির জন্য পরবর্তী সংখ্যা খুঁজছি।

প্রথমে, আমরা দুটি পরপর সংখ্যার মধ্যে পার্থক্য বের করি: $$১১-৮=৩$$ $$১৭-১১=৬$$ $$২৯-১৭=১২$$ $$৫৩-২৯=২৪$$ এখন, লক্ষ করছি যে পার্থক্যগুলি হলো $৩,৬,১২,২৪$। দেখা যাচ্ছে, প্রতিটি পরবর্তী পার্থক্য পূর্ববর্তী পার্থক্যের দ্বিগুণ।

তাহলে, পরবর্তী পার্থক্য হবে $২৪\times ২=৪৮$।

সুতরাং, ক্রমের পরবর্তী সংখ্যা হবে $৫৩+৪৮=১০১$।

অতএব, ক্রমের পরবর্তী সংখ্যা হবে $১০১$।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, আমরা ধারাটির পরবর্তী সংখ্যা খুঁজছি: $১৯,৩৩,৫১,৭৩,....$

প্রথমে, আমরা দুটি পরপর সংখ্যার মধ্যে পার্থক্য নির্ণয় করি: $$৩৩-১৯=১৪$$ $$৫১-৩৩=১৮$$ $$৭৩-৫১=২২$$ আমরা লক্ষ্য করছি যে পার্থক্যগুলি হলো $১৪,১৮,২২$। দেখা যাচ্ছে, পার্থক্যগুলির মধ্যে একটি ধারা আছে: প্রতিটি পার্থক্য ৪ করে বাড়ছে।

তাহলে, পরবর্তী পার্থক্য হবে $২২+৪=২৬$।

সুতরাং, পরবর্তী সংখ্যা হবে $৭৩+২৬=৯৯$।

অতএব, ধারার পরবর্তী সংখ্যা হলো $৯৯$।

ব্যাখ্যাঃ ১ থেকে ৪৯ পর্যন্ত সংখ্যার গড় নির্ণয় করতে হলে আমাদের প্রথমে যোগফল বের করতে হবে এবং তারপর সংখ্যা গুলি গণনা করতে হবে।

সংখ্যাগুলির যোগফল বের করতে হলে: $$\text{যোগফল}=\frac{n(n+1)}{2}$$ যেখানে, $n$ হল সর্বশেষ সংখ্যা। $$\text{যোগফল}=\frac{49\times 50}{2}=1225$$ এখন, সংখ্যাগুলির গড় নির্ণয় করতে: $$\text{গড়}=\frac{\text{যোগফল}}{\text{সংখ্যার সংখ্যা}}=\frac{1225}{49}=25$$ অতএব, ১ থেকে ৪৯ পর্যন্ত সংখ্যার গড় হল ২৫।

ব্যাখ্যাঃ $1^2+2^2+3^2+\cdots +x^2$ এই ধারাটির যোগফল নির্ণয়ের জন্য একটি সূত্র আছে। এই সূত্রটি হলো: $$1^2+2^2+3^2+\cdots +x^2=\frac{x(x+1)(2x+1)}{6}$$ এই সূত্রটি ব্যবহার করে আমরা $1^2+2^2+3^2+\cdots +x^2$ এর মান নির্ণয় করতে পারি।

ব্যাখ্যা:
- $x$ হলো ধারাটির শেষ পদ।
- সূত্রটি প্রমাণিত এবং গাণিতিকভাবে সঠিক।

সুতরাং, $1^2+2^2+3^2+\cdots +x^2$ এর মান হলো: $$\boxed{{\displaystyle \frac{x(x+1)(2x+1)}{6}}}$$

ব্যাখ্যাঃ $1^2+2^2+3^2+\cdots +x^2$ এর যোগফলের সূত্র হলো: $$\text{যোগফল}=\frac{x(x+1)(2x+1)}{6}$$

ব্যাখ্যাঃ ১ থেকে ২০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর যোগফল নির্ণয়ের জন্য আমরা নিচের সূত্রটি ব্যবহার করতে পারি: $$\text{যোগফল}=\frac{n(n+1)}{2}$$ এখানে, $n$ হলো সর্বোচ্চ সংখ্যা, অর্থাৎ $20$। তাহলে:
$$\text{যোগফল}=\frac{20(20+1)}{2}=\frac{20\times 21}{2}=210$$ উত্তর: ১ থেকে ২০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর যোগফল হলো $210$।

ব্যাখ্যাঃ ১ হতে ১০০ পর্যন্ত সংখ্যাসমূহের যোগফল নির্ণয়ের জন্য আমরা গাণিতিক সূত্র ব্যবহার করতে পারি। ধারাটির যোগফল নির্ণয়ের সূত্র হলো: $$\text{যোগফল}=\frac{n(n+1)}{2}$$ যেখানে $n$ হলো শেষ সংখ্যা। এখানে $n=100$।

$$\text{যোগফল}=\frac{100(100+1)}{2}=\frac{100\times 101}{2}$$ $$\text{যোগফল}=\frac{10100}{2}=5050$$ উত্তর: ১ হতে ১০০ পর্যন্ত সংখ্যাসমূহের যোগফল হলো: $$\boxed{{\displaystyle 5050}}$$

ব্যাখ্যাঃ এই সংখ্যাগুলোর একটি নিদিষ্ট ক্রম রয়েছে, যা মনে হচ্ছে একটি গুণোত্তর ধারার (geometric progression) অংশ। এখানে:

- প্রথম সংখ্যা: $৮১$
- দ্বিতীয় সংখ্যা: $২৭$
- তৃতীয় সংখ্যা: লুপ্ত
- চতুর্থ সংখ্যা: $৩$
- পঞ্চম সংখ্যা: $১$

ধরা যাক, ধারার অনুপাত $r$। গুণোত্তর ধারায় প্রতিটি পরবর্তী সংখ্যা আগের সংখ্যার সাথে $r$-এ গুণ করে পাওয়া যায়। প্রথম দুটি সংখ্যার মধ্যে $r$ নির্ণয় করি: $$r=\frac{২৭}{৮১}=\frac{১}{৩}$$ এখন $r=\frac{১}{৩}$ ব্যবহার করে, তৃতীয় সংখ্যাটি বের করি: $$তৃতীয়সংখ্যা=২৭\times \frac{১}{৩}=৯$$ অতএব, লুপ্ত সংখ্যাটি হলো ৯।

ব্যাখ্যাঃ ১ থেকে ১১ পর্যন্ত ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গড় বের করার জন্য গড়ের সূত্র ব্যবহার করতে হবে: $$\text{গড়}=\frac{\text{সমস্ত সংখ্যার যোগফল}}{\text{সংখ্যার পরিমাণ}}$$ ধাপ ১: সমস্ত সংখ্যার যোগফল বের করা
১ থেকে ১১ পর্যন্ত সংখ্যার যোগফল হলো: $$১+২+৩+\cdots +১১=\frac{n\times (n+১)}{২}$$ যেখানে $n=১১$। সুতরাং: $$\text{যোগফল}=\frac{১১\times (১১+১)}{২}=\frac{১১\times ১২}{২}=৬৬$$ ধাপ ২: সংখ্যার পরিমাণ
১ থেকে ১১ পর্যন্ত সংখ্যার পরিমাণ $n=১১$।

ধাপ ৩: গড় নির্ণয় $$\text{গড়}=\frac{\text{যোগফল}}{\text{সংখ্যার পরিমাণ}}=\frac{৬৬}{১১}=৬$$ উত্তর: ১ থেকে ১১ পর্যন্ত স্বাভাবিক সংখ্যার গড় হলো ৬।

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সংখ্যাগুলো হলো: ৪, ৬, ৯, ৬, ১৪, ৬, এই সংখ্যাগুলোর মধ্যে একটি প্যাটার্ন লক্ষ্য করা যাচ্ছে। সংখ্যাগুলো পর্যবেক্ষণ করলে দেখা যায়:

- বিজোড় অবস্থানে (১ম, ৩য়, ৫ম, ...) সংখ্যাগুলো হলো: ৪, ৯, ১৪, ...
- জোড় অবস্থানে (২য়, ৪র্থ, ৬ষ্ঠ, ...) সংখ্যাগুলো হলো: ৬, ৬, ৬, ...

প্যাটার্ন বিশ্লেষণ:
- বিজোড় অবস্থানের সংখ্যাগুলো প্রতিবার ৫ করে বাড়ছে: ৪, ৯ (৪ + ৫), ১৪ (৯ + ৫), ...
- জোড় অবস্থানের সংখ্যাগুলো সবসময় ৬।

সুতরাং, পরবর্তী সংখ্যাটি বিজোড় অবস্থানে থাকবে এবং এটি হবে: $$১৪+৫=১৯$$

ব্যাখ্যাঃ ধারা লক্ষ্য করলে দেখা যায় সংখ্যাগুলোর মধ্যে পার্থক্য পর্যায়ক্রমে বৃদ্ধি পাচ্ছে:

- $১১-৮=৩$
- $১৭-১১=৬$
- $২৯-১৭=১২$
- $৫৩-২৯=২৪$

এখানে পার্থক্যগুলো হলো $৩,৬,১২,২৪$, যা দ্বিগুণ করে বৃদ্ধি পাচ্ছে। সুতরাং পরবর্তী পার্থক্য হবে: $$২৪\times ২=৪৮$$ তাহলে পরবর্তী সংখ্যা: $$৫৩+৪৮=১০১$$ উত্তর: পরবর্তী সংখ্যাটি হলো ১০১।

ব্যাখ্যাঃ এই ধারাটির নিয়ম হলো: প্রতিটি সংখ্যা আগের দুটি সংখ্যার যোগফল।

এখানে ধারাটি বিশ্লেষণ করলে দেখা যায়:
- ২ + ৩ = ৫
- ৩ + ৫ = ৮
- ৫ + ৮ = ১৩
- ৮ + ১৩ = ২১
- ১৩ + ২১ = ৩৪
- ২১ + ৩৪ = ৫৫

সুতরাং, ধারাটির পরবর্তী সংখ্যাটি হল ৫৫।