ব্যাখ্যাঃ দুটি সংখ্যা $a$ এবং $b$-এর গুণোত্তর গড় হলো $\sqrt{ab}$.

এখানে, সংখ্যা দুটি হলো $১৮$ এবং $৭২$.

সুতরাং, এদের গুণোত্তর গড় হবে $\sqrt{১৮ \times ৭২}$.

আমরা লিখতে পারি, $১৮ = ২ \times ৯ = ২ \times ৩^২$ এবং $৭২ = ৮ \times ৯ = ২^৩ \times ৩^২$.

তাহলে, $১৮ \times ৭২ = (২ \times ৩^২) \times (২^৩ \times ৩^২) = ২^{১+৩} \times ৩^{২+২} = ২^৪ \times ৩^৪ = (২ \times ৩)^৪ = ৬^৪$.

অতএব, গুণোত্তর গড় = $\sqrt{৬^৪} = (৬^৪)^{১/২} = ৬^{৪ \times (১/২)} = ৬^২ = ৩৬$.

সুতরাং, ১৮ এবং ৭২ এর গুণোত্তর গড় হলো ৩৬।

সঠিক উত্তর: গঃ ৩৬

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত তথ্য:
মোট শিক্ষার্থী = 100 জন
শিক্ষার্থীদের গড় নম্বর = 70
মোট প্রাপ্ত নম্বর = $100 \times 70 = 7000$

ছাত্রীর সংখ্যা = 60 জন
ছাত্রীদের গড় নম্বর = 75
ছাত্রীদের মোট প্রাপ্ত নম্বর = $60 \times 75 = 4500$

ছাত্রের সংখ্যা = $100 - 60 = 40$ জন
ছাত্রদের মোট প্রাপ্ত নম্বর = $7000 - 4500 = 2500$
ছাত্রদের গড় নম্বর = $\frac{2500}{40} = 62.5$

সুতরাং, ছাত্রদের গড় নম্বর 62.5।

ব্যাখ্যাঃ
তিন সদস্যের মোট বয়স: $২৪ \times ৩ = ৭২$ বছর।
অন্য দুজন সদস্যের সর্বনিম্ন বয়স হতে পারে ২১ বছর করে।
অন্য দুজন সদস্যের বয়সের সমষ্টি: $২১ + ২১ = ৪২$ বছর।
সুতরাং, তৃতীয় সদস্যের সর্বোচ্চ বয়স হবে: $৭২ - ৪২ = ৩০$ বছর।

ব্যাখ্যাঃ
$m$ সংখ্যক সংখ্যার মোট যোগফল $= m \times x = mx$
$n$ সংখ্যক সংখ্যার মোট যোগফল $= n \times y = ny$

সব সংখ্যার মোট যোগফল $= (mx + ny)$
মোট সংখ্যা $= (m + n)$

সুতরাং, সব সংখ্যার গড়
$= \frac{সব সংখ্যার মোট যোগফল}{মোট সংখ্যা}$
$= \frac{mx + ny}{m+n}$

ব্যাখ্যাঃ ধরা যাক, বর্তমান সময়ে রাহিমের বয়স ১২ বছর এবং সে কারিমের থেকে তিনগুণ বড়। অর্থাৎ, কারিমের বয়স হবে: \[ \frac{১২}{৩} = ৪ \text{ বছর} \] এখন, প্রশ্নে বলা হচ্ছে, রাহিম তখন দুইগুণ বড় হবে কারিমের থেকে। তাহলে, সেই অবস্থায় রাহিমের বয়স হবে ২ গুণ কারিমের বয়সের। ধরা যাক, কিছু সময় পরে রাহিমের বয়স হবে x বছর এবং কারিমের বয়স হবে y বছর। আমরা জানি, বর্তমান সময়ে রাহিমের বয়স ১২ বছর এবং কারিমের বয়স ৪ বছর। এখন, সময়ের সাথে তাদের বয়সে বৃদ্ধি হবে, এবং তাদের বয়সের পার্থক্য একটিই থাকবে। অতএব, রাহিমের বয়সের ও কারিমের বয়সের মধ্যে পার্থক্য থাকবে ৮ বছর। তাহলে, রাহিমের বয়স হবে: \[ x = 2y \] এবং, \[ x - y = ৮ \] এখন, প্রথম সমীকরণে x = 2y বসিয়ে দ্বিতীয় সমীকরণে দিয়ে সমাধান করি: \[ 2y - y = ৮ \] \[ y = ৮ \] তাহলে, কারিমের বয়স হবে ৮ বছর। আর রাহিমের বয়স হবে: \[ x = 2 \times ৮ = ১৬ \text{ বছর} \] ### উত্তর: রাহিমের বয়স হবে ১৬ বছর, যখন সে কারিমের থেকে দুইগুণ বড় হবে। ✅

ব্যাখ্যাঃ

পিতা, মাতা ও পুত্রের বয়সের গড় ৩৭ বছর। এর থেকে আমরা তাদের মোট বয়স বের করতে পারি: মোট বয়স = গড় বয়স × সদস্য সংখ্যা মোট বয়স = ৩৭ বছর × ৩ = ১১১ বছর
আবার, পিতা ও পুত্রের বয়সের গড় ৩৫ বছর। তাদের মোট বয়স হবে: পিতা ও পুত্রের মোট বয়স = ৩৫ বছর × ২ = ৭০ বছর
এখন, মাতার বয়স বের করতে হলে পিতা, মাতা ও পুত্রের মোট বয়স থেকে পিতা ও পুত্রের মোট বয়স বিয়োগ করতে হবে: মাতার বয়স = ১১১ বছর - ৭০ বছর = ৪১ বছর
অতএব, মাতার বয়স ৪১ বছর।

ব্যাখ্যাঃ

পিতা ও মাতার বয়সের গড় ৪৫ বছর। এর থেকে আমরা তাদের মোট বয়স বের করতে পারি: মোট বয়স = গড় বয়স × সদস্য সংখ্যা মোট বয়স = ৪৫ বছর × ২ = ৯০ বছর আবার, পিতা, মাতা ও পুত্রের বয়সের গড় ৩৬ বছর। তাদের মোট বয়স হবে: পিতা, মাতা ও পুত্রের মোট বয়স = ৩৬ বছর × ৩ = ১০৮ বছর এখন, পুত্রের বয়স বের করতে হলে পিতা, মাতা ও পুত্রের মোট বয়স থেকে পিতা ও মাতার মোট বয়স বিয়োগ করতে হবে: পুত্রের বয়স = ১০৮ বছর - ৯০ বছর = ১৮ বছর অতএব, পুত্রের বয়স ১৮ বছর।

ব্যাখ্যাঃ আমরা সবগুলো সংখ্যার গড় নির্ণয় করতে পারি। ধরি, প্রথম গোষ্ঠীর সংখ্যা হলো \( M \), যার গড় \( A \) এবং দ্বিতীয় গোষ্ঠীর সংখ্যা হলো \( N \), যার গড় \( B \)। প্রথম গোষ্ঠীর সংখ্যার মোট যোগফল হবে: \[ MA \] দ্বিতীয় গোষ্ঠীর সংখ্যার মোট যোগফল হবে: \[ NB \] তাহলে সবগুলো সংখ্যার মোট যোগফল হবে: \[ MA + NB \] এখন সবগুলো সংখ্যার গড় নির্ণয় করতে মোট সংখ্যার যোগফলকে মোট সংখ্যার সাথে ভাগ করি: \[ \text{সবগুলো সংখ্যার গড়} = \frac{MA + NB}{M + N} \]

ব্যাখ্যাঃ ধরি, ছেলের বর্তমান বয়স \( x \) বছর। ৫ বছর পরে ছেলের বয়স হবে \( x + 5 = 12 \) বছর। \[ x = 12 - 5 \] \[ x = 7 \text{ বছর} \] তাহলে, ছেলের বর্তমান বয়স ৭ বছর। তার স্ত্রী বয়স ছেলের বয়সের ৪ গুণ, সুতরাং স্ত্রীর বর্তমান বয়স: \[ 4 \times 7 = 28 \text{ বছর} \] যেহেতু ঐ ব্যক্তি তার স্ত্রীর চেয়ে ৫ বছরের বড়, সুতরাং তার বর্তমান বয়স: \[ 28 + 5 = 33 \text{ বছর} \] তাহলে, ঐ ব্যক্তির বর্তমান বয়স ৩৩ বছর।

ব্যাখ্যাঃ ধরুন, পুত্রের বর্তমান বয়স \(x\) বছর এবং পিতার বর্তমান বয়স \(4x\) বছর।

৬ বছর পূর্বে, পুত্রের বয়স \(x - 6\) বছর এবং পিতার বয়স \(4x - 6\) বছর ছিল।

প্রশ্ন থেকে আমরা পাই: ৬ বছর পূর্বে পিতার বয়স পুত্রের বয়সের দশগুণ ছিল। অতএব, \[4x - 6 = 10(x - 6)\] এখন, সমীকরণটি সমাধান করি: \[ 4x - 6 = 10x - 60 \] \[ 4x - 10x = -60 + 6 \] \[ -6x = -54 \] \[ x = 9 \] অতএব, পুত্রের বর্তমান বয়স ৯ বছর এবং পিতার বর্তমান বয়স \(4x = 4 \times 9 = 36\) বছর।

অর্থাৎ, পুত্রের বর্তমান বয়স ৯ বছর এবং পিতার বর্তমান বয়স ৩৬ বছর।

ব্যাখ্যাঃ ধরি সেই সংখ্যাটি \( x \)।

৬, ৮, ১০ এর গাণিতিক গড়: \[ \frac{৬ + ৮ + ১০}{৩} = \frac{২৪}{৩} = ৮ \] এখন, \(৭, ৯\) এবং \( x \) এর গাণিতিক গড় বের করি: \[ \frac{৭ + ৯ + x}{৩} = ৮ \] অতএব, \[ ৭ + ৯ + x = ২৪ \] \[ ১৬ + x = ২৪ \] \[ x = ২৪ - ১৬ \] \[ x = ৮ \] অতএব, \( x \) এর মান ৮।

ব্যাখ্যাঃ পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়স নির্ণয়ের জন্য নিচের ধাপগুলো অনুসরণ করা হলো:

ধাপ ১: বর্তমান বয়সের যোগফল নির্ণয়
পিতা ও পুত্রের বয়সের গড় ৩০ বছর। তাই তাদের বয়সের যোগফল: \[ \text{যোগফল} = ৩০ \times ২ = ৬০ \text{ বছর} \] ধাপ ২: ৬ বছর পরের বয়সের অনুপাত
৬ বছর পর পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত ৫ : ১। ধরি, ৬ বছর পর পুত্রের বয়স \(x\) বছর। তাহলে পিতার বয়স হবে \(5x\) বছর।

ধাপ ৩: বর্তমান বয়সের সমীকরণ ৬ বছর পর পিতা ও পুত্রের বয়সের যোগফল: \[ 5x + x = ৬০ + ১২ = ৭২ \text{ বছর} \] \[ 6x = ৭২ \Rightarrow x = ১২ \text{ বছর} \] ধাপ ৪: পুত্রের বর্তমান বয়স
পুত্রের বর্তমান বয়স: \[ ১২ - ৬ = ৬ \text{ বছর} \] উত্তর: পুত্রের বর্তমান বয়স হলো: \[ \boxed{৬ \text{ বছর}} \]

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে তিন ভাইয়ের মোট বয়স:
গড় বয়স = ১৬ বছর, ভাইয়ের সংখ্যা = ৩
সুতরাং, তাদের মোট বয়স: \[ 3 \times 16 = 48 \text{ বছর} \] বাবা সহ চারজনের মোট বয়স:
গড় বয়স = ২৫ বছর, মোট ব্যক্তি = ৪
সুতরাং, তাদের মোট বয়স: \[ 4 \times 25 = 100 \text{ বছর} \] বাবার বয়স: \[ 100 - 48 = 52 \text{ বছর} \] সুতরাং, বাবার বয়স ৫২ বছর।

ব্যাখ্যাঃ ধরুন, পুত্রের বর্তমান বয়স \( x \) বছর।
তাহলে পিতার বর্তমান বয়স \( 3x \) বছর।

৫ বছর আগে:
⇒ পুত্রের বয়স ছিল \( x - 5 \) বছর।
⇒ পিতার বয়স ছিল \( 3x - 5 \) বছর।

প্রশ্ন অনুযায়ী, ৫ বছর আগে পিতার বয়স ছিল পুত্রের বয়সের ৪ গুণ, অর্থাৎ: \[ 3x - 5 = 4(x - 5) \] \[ 3x - 5 = 4x - 20 \] \[ 3x - 4x = -20 + 5 \] \[ - x = -15 \] \[ x = 15 \] সুতরাং, পুত্রের বর্তমান বয়স \( 15 \) বছর এবং পিতার বর্তমান বয়স \( 3 \times 15 = 45 \) বছর।

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে, শ্রেণীর ২০ জন ছাত্রের মোট বয়স নির্ণয় করি: \[ \text{মোট বয়স} = \text{গড়} \times \text{সংখ্যা} = 12 \times 20 = 240 \text{ বছর} \] ৪ জন নতুন ছাত্র ভর্তি হওয়ার পর, মোট ছাত্র হলো \( 20 + 4 = 24 \)।
নতুন গড় বয়স হলো ৪ মাস কম, অর্থাৎ: \[ 12 - \frac{4}{12} = 11.6667 \approx 11\frac{2}{3} \text{ বছর} \] এখন, নতুন মোট বয়স: \[ \text{নতুন মোট বয়স} = 24 \times 11\frac{2}{3} = 280 \text{ বছর} \] তাহলে, নতুন ছাত্রদের মোট বয়স: \[ 280 - 240 = 40 \text{ বছর} \] এখন, নতুন ৪ জন ছাত্রের গড় বয়স: \[ \frac{40}{4} = 10 \text{ বছর} \] সুতরাং, নতুন ৪ জন ছাত্রের গড় বয়স ১০ বছর।

ব্যাখ্যাঃ গাণিতিক গড় নির্ণয়ের সূত্র: \[ \text{গড়} = \frac{\text{সংখ্যাগুলোর যোগফল}}{\text{মোট সংখ্যা}} \] প্রথমে, ৬, ৮ ও ১০ এর গড়: \[ \frac{6 + 8 + 10}{3} = \frac{24}{3} = 8 \] এখন, ৭, ৯ ও \( x \) এর গড়ও ৮ হবে: \[ \frac{7 + 9 + x}{3} = 8 \] \[ 7 + 9 + x = 8 \times 3 \] \[ 16 + x = 24 \] \[ x = 24 - 16 = 8 \] সুতরাং, \( x \) এর মান ৮।

ব্যাখ্যাঃ মনে করি, পুত্রের বয়স $x$ বছর।

প্রশ্নানুযায়ী, পিতার বয়স পুত্রের বয়সের দ্বিগুণ অপেক্ষা ২ বছর বেশি।
সুতরাং, পিতার বয়স $= 2x + 2$ বছর।

দেওয়া আছে, পিতার বয়স ৬২ বছর।
তাহলে, $2x + 2 = 62$
$2x = 62 - 2$
$2x = 60$
$x = \frac{60}{2}$
$x = 30$

অতএব, পুত্রের বয়স ৩০ বছর।

উত্তর: পুত্রের বয়স ৩০ বছর।

ব্যাখ্যাঃ ১০ টি সংখ্যার যোগফল ৩৮০।
প্রথম ৪টি সংখ্যার গড় ৪০।
প্রথম ৪টি সংখ্যার মোট যোগফল = $4 \times 40 = 160$

শেষ ৫টি সংখ্যার গড় ৩০।
শেষ ৫টি সংখ্যার মোট যোগফল = $5 \times 30 = 150$

প্রথম ৪টি সংখ্যা এবং শেষ ৫টি সংখ্যার মোট যোগফল = $160 + 150 = 310$

মোট ১০টি সংখ্যার যোগফল থেকে প্রথম ৪টি এবং শেষ ৫টি সংখ্যার যোগফল বাদ দিলে ৫ম সংখ্যাটি পাওয়া যাবে।

৫ম সংখ্যাটি = মোট ১০টি সংখ্যার যোগফল - (প্রথম ৪টি সংখ্যার যোগফল + শেষ ৫টি সংখ্যার যোগফল)
৫ম সংখ্যাটি = $380 - 310 = 70$

সুতরাং, ৫ম সংখ্যাটি হলো ৭০।

ব্যাখ্যাঃ পুত্রের বর্তমান বয়স $x$ বছর।
পিতার বর্তমান বয়স $3x$ বছর।

5 বছর পূর্বে,
পুত্রের বয়স ছিল $x-5$ বছর।
পিতার বয়স ছিল $3x-5$ বছর।

প্রশ্নানুসারে,
$3x-5 = 4(x-5)$
$3x-5 = 4x-20$
$4x-3x = 20-5$
$x = 15$

অতএব,
পুত্রের বর্তমান বয়স 15 বছর।
পিতার বর্তমান বয়স $3 \times 15 = 45$ বছর।

ব্যাখ্যাঃ

লাবিব+রামিম+জিদান = ৩x ……..১

লাবিব + রামিম + শাফিন = ৩(x - 5) …….২

বিয়োগ করে (১-২),

জিদান- শাফিন = ৩x - ৩x + ১৫

বা, জিদান -২০ = ১৫

বা, জিদান = ৩৫

সুতরাং, জিদানের বয়স ৩৫ বছর।