ব্যাখ্যাঃ কোন ভগ্নাংশটি \(\frac{২}{৩}\)হতে বড় তা নির্ণয় করার জন্য, আমরা প্রতিটি ভগ্নাংশকে দশমিকে রূপান্তর করে \(\frac{২}{৩}\) এর দশমিক মানের সাথে তুলনা করতে পারি। $$\frac{২}{৩} = ০.৬৬৬...$$ এখন প্রতিটি বিকল্পের দশমিক মান বের করা যাক:
Option 1: $$\frac{৩৩}{৫০} = \frac{৬৬}{১০০} = ০.৬৬$$ Option 2: $$৮ \div ১১ = ০.৭২৭২৭২...$$ Option 3: $$\frac{৩}{৫} = ০.৬$$ Option 4: $$১৩ \div ২৭ = ০.৪৮১৪৮১...$$

এখন আমরা প্রতিটি দশমিক মানকে \(\frac{২}{৩}\) এর দশমিক মান (০.৬৬৬...) এর সাথে তুলনা করি:

• Option 1: ০.৬৬ < ০.৬৬৬...
• Option 2: ০.৭২৭২৭২... > ০.৬৬৬...
• Option 3: ০.৬ < ০.৬৬৬...
• Option 4: ০.৪৮১৪৮১... < ০.৬৬৬...

সুতরাং, \(\frac{৮}{১১}\)ভগ্নাংশটি\(\frac{২}{৩}\) হতে বড়।

ব্যাখ্যাঃ ধারাটির প্রতিটি সংখ্যা তার আগের সংখ্যাটিকে ২ দিয়ে ভাগ করে পাওয়া যাচ্ছে:

• ৮ ÷ ২ = ৪
  
• ৪ ÷ ২ = ২
  
• ২ ÷ ২ = ১
  
• ১ ÷ ২ = $\frac{১}{২}$
  
• $\frac{১}{২}$ ÷ ২ = $\frac{১}{৪}$
  

সুতরাং, পরবর্তী সংখ্যাটি হবে:

$\frac{১}{৪}$ ÷ ২ = $\frac{১}{৮}$

অতএব, সঠিক উত্তরটি হলো কঃ $\frac{১}{৮}$।

ব্যাখ্যাঃ সকল ভগ্নাংশের ল.সা.গু (LCM) অনুযায়ী লব ও হরকে সামঞ্জস্য করলে তুলনা সহজ হয়। তবে সরাসরি দশমিক রূপ ব্যবহার করেও তুলনা করা যায়।

দশমিক রূপে প্রকাশ:

\[
\frac{5}{12} = 0.4167
\]

\[
\frac{6}{13} \approx 0.4615
\]

\[
\frac{11}{24} \approx 0.4583
\]

\[
\frac{3}{8} = 0.375
\]

তুলনা:

বৃহত্তম মান \( 0.4615 \), অর্থাৎ \( \frac{6}{13} \)।

চূড়ান্ত উত্তর:

খঃ \( \frac{6}{13} \)

ব্যাখ্যাঃ নিচে প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলোর তুলনা:
\[
\frac{18}{16} = 1.125
\]
\[
\frac{5}{3} = 1.6667
\]
\[
\frac{16}{31} = 0.5161
\]
\[
\frac{4}{12} = 0.3333
\]

সবচেয়ে ছোট সংখ্যা:

\[
\frac{4}{12}
\]

ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি, $$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$$

এখানে, $a = 0.9$এবং$b = 0.4$

সুতরাং, $$(0.9)^3+(0.4)^3 = (0.9+0.4)((0.9)^2 - (0.9)(0.4) + (0.4)^2)$$

এখন, প্রদত্ত রাশিমালাটিকে আমরা লিখতে পারি:
$$\frac{(0.9+0.4)((0.9)^2 - (0.9)(0.4) + (0.4)^2)}{0.9+0.4}$$
$$(0.9+0.4)$$
$$(0.9)^2 - (0.9)(0.4) + (0.4)^2$$
$$(0.81) - (0.36) + (0.16)$$
$$= 0.81 - 0.36 + 0.16$$
$$= 0.45 + 0.16$$
$$= 0.61$$

সুতরাং, $\frac{(0.9)^3+(0.4)^3}{0.9+0.4}$ এর মান 0.61।

ব্যাখ্যাঃ কোন ভগ্নাংশটি বৃহত্তম তা নির্ণয় করার জন্য, আমরা প্রতিটি ভগ্নাংশকে দশমিকে রূপান্তর করব অথবা তাদের সমহরবিশিষ্ট ভগ্নাংশে রূপান্তর করব। দশমিকে রূপান্তর করা তুলনামূলকভাবে সহজ।

কঃ $\frac{৩}{৫} = 0.6$

খঃ $\frac{৫}{৮} = 0.625$

গঃ $\frac{৬}{১১} \approx 0.5454...$

ঘঃ $\frac{৮}{১৪} = \frac{৪}{৭} \approx 0.5714...$

এখন দশমিক মানগুলো তুলনা করি:
$0.6$
$0.625$
$0.5454...$
$0.5714...$

এই মানগুলোর মধ্যে $0.625$ সবচেয়ে বড়।

সুতরাং, খঃ $\frac{৫}{৮}$ ভগ্নাংশটি বৃহত্তম।

ব্যাখ্যাঃ

ধরি, সংখ্যাটি x. এখানে, ০.১ পৌনোপৌনিক = ১/৯ এবং ০.১ = ১/১০ প্রশ্নমতে, x/৯ - x/১০ = ১ বা, (১০x - ৯x)/৯০ =১ বা, x = ৯০ সুতরাং, সংখ্যাটি ৯০

ব্যাখ্যাঃ
ভগ্নাংশের হর (denominator) থেকে বর্গমূল চিহ্নটি সরানোর জন্য আমরা হর-এর অনুবন্ধী রাশি (conjugate) $\sqrt{6}-2$ দিয়ে লব (numerator) ও হর উভয়কেই গুণ করব।

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}+2} = \frac{\sqrt{2}}{(\sqrt{6}+2)} \times \frac{(\sqrt{6}-2)}{(\sqrt{6}-2)}$

লব = $\sqrt{2}(\sqrt{6}-2) = \sqrt{12} - 2\sqrt{2} = 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2} = 2(\sqrt{3}-\sqrt{2})$

হর = $(\sqrt{6}+2)(\sqrt{6}-2) = (\sqrt{6})^2 - 2^2 = 6 - 4 = 2$

এখন, লব ও হর-এর মান বসিয়ে পাই:
$\frac{2(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{2} = \sqrt{3}-\sqrt{2}$

ব্যাখ্যাঃ যেহেতু সব ভগ্নাংশের লব বা হর এক নয়, তাই আমরা তাদের দশমিক মানে রূপান্তর করে সহজেই ছোট সংখ্যাটি বের করতে পারি।

• ক: $\frac{2}{11}$ = 0.1818...
  
• খ: $\frac{3}{11}$ = 0.2727...
  
• গ: $\frac{2}{13}$ = 0.1538...
  
• ঘ: $\frac{4}{15}$ = 0.2666...
  

এই দশমিক মানগুলো তুলনা করলে দেখা যায়, 0.1538... সবচেয়ে ছোট। সুতরাং, $\frac{2}{13}$ হলো সবচেয়ে ছোট ভগ্নাংশ।

সঠিক উত্তর: গ।

ব্যাখ্যাঃ \( 1.16 \) সংখ্যাটিকে মিশ্র ভগ্নাংশে প্রকাশ করলে হবে: প্রথমে, একে পূর্ণসংখ্যা + ভগ্নাংশ আকারে লিখি: \[ 1.16 = 1 + 0.16 \] এখন, \( 0.16 \) কে ভগ্নাংশে রূপান্তর করি: \[ 0.16 = \frac{16}{100} \] এখন, সরলীকরণ করি: \[ \frac{16}{100} = \frac{4}{25} \] অতএব, \( 1.16 \) এর মিশ্র ভগ্নাংশ হলো \[ 1\frac{4}{25} \] ✅ উত্তর: \( 1\frac{4}{25} \)

ব্যাখ্যাঃ আমরা ধাপে ধাপে সমস্যাটির সমাধান করবো। ### ধাপ ১: "৩০ কে অর্ধেক দিয়ে ভাগ করা" এখানে "অর্ধেক দিয়ে ভাগ করা" মানে \( \frac{1}{2} \) দ্বারা ভাগ করা, যা গুণনের বিপরীত। অতএব, \[ 30 \div \frac{1}{2} = 30 \times 2 = 60 \] ### ধাপ ২: ১০ যোগ করা \[ 60 + 10 = 70 \] ### উত্তর: সঠিক উত্তর ৭০। ✅

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত ভগ্নাংশটি হলো: \[ \frac{113}{355} \] এই ভগ্নাংশটি লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশিত কিনা তা নির্ণয় করতে হলে, আমাদের লব (113) এবং হর (355) এর গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক (গ.সা.গু.) নির্ণয় করতে হবে। ### ধাপ ১: গ.সা.গু. নির্ণয় 113 একটি মৌলিক সংখ্যা (Prime Number), কারণ এটি শুধুমাত্র 1 এবং 113 দ্বারা বিভাজ্য। 355 কে 113 দ্বারা ভাগ করলে: \[ 355 \div 113 = 3 \text{ এবং অবশিষ্ট } 16 \] যেহেতু অবশিষ্ট 0 নয়, তাই 113 এবং 355 পরস্পর সহমৌলিক (Co-prime)। অর্থাৎ, তাদের গ.সা.গু. 1। ### ধাপ ২: ভগ্নাংশটি লঘিষ্ঠ আকারে যেহেতু লব এবং হরের গ.সা.গু. 1, তাই ভগ্নাংশটি ইতিমধ্যেই লঘিষ্ঠ আকারে রয়েছে। ### উত্তর: \[ \boxed{\frac{113}{355}} \]

ব্যাখ্যাঃ ধরি, ভগ্নাংশের লব \( x \) এবং হর \( y \)। আমাদের বলা হয়েছে যে \( y - x = 2 \)। এখন, ধরি উভয় থেকে ৩ বিয়োগ করলে নতুন ভগ্নাংশ হবে \(\frac{x - 3}{y - 3}\) এবং এই ভগ্নাংশের সঙ্গে \(\frac{1}{4}\) যোগ করলে যোগফল হবে ১: \[ \frac{x - 3}{y - 3} + \frac{1}{4} = 1 \] প্রথমে \( y \)-এর মান \( x \)-এর সমীকরণে বসাই: \[ y = x + 2 \] এখন মূল সমীকরণে \( y \)-এর মান বসাই: \[ \frac{x - 3}{(x + 2) - 3} + \frac{1}{4} = 1 \] \[ \frac{x - 3}{x - 1} + \frac{1}{4} = 1 \] এখন, সমীকরণটি সমাধান করি: \[ \frac{x - 3}{x - 1} = 1 - \frac{1}{4} \] \[ \frac{x - 3}{x - 1} = \frac{4 - 1}{4} \] \[ \frac{x - 3}{x - 1} = \frac{3}{4} \] এখন, ক্রস গুণিতক করে সমীকরণটি সমাধান করি: \[ 4(x - 3) = 3(x - 1) \] \[ 4x - 12 = 3x - 3 \] \[ 4x - 3x = -3 + 12 \] \[ x = 9 \] তাহলে, \( y \) হবে: \[ y = x + 2 = 9 + 2 = 11 \] সুতরাং, ভগ্নাংশটি হল \(\frac{9}{11}\)।

ব্যাখ্যাঃ ধরুন আমাদের একটি ভগ্নাংশ দেওয়া হয়েছে, \(\frac{২}{৩}\)।

এখন দেখি, কোন ভগ্নাংশটি \(\frac{২}{৩}\) থেকে বড়: \[ \frac{2}{3} = 0.6666 \] চলুন কিছু ভগ্নাংশ দেখি এবং তাদের দশমিক মান বের করি:

ক. \(\frac{৩০}{৫০} = 0.6000\)

খ. \(\frac{৮}{১১} = 0.7272\)

গ. \(\frac{২}{৫} = 0.4000\)

ঘ. \(\frac{১৩}{২৭} = 0.4814\)

∴ \(\frac{৮}{১১}\) ভগ্নাংশটি \(\frac{২}{৩}\) থেকে বড়।

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে প্রতিটি সংখ্যা দশমিক আকারে রূপান্তর করি:

কঃ \( 0.3 \)

খঃ \( \sqrt{0.3} \approx 0.5477 \)

গঃ \( \frac{2}{5} = 0.4 \)

ঘঃ \( \frac{1}{3} \approx 0.3333 \)

তাহলে, বৃহত্তম সংখ্যাটি হলো \( \sqrt{0.3} \approx 0.5477 \)।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, পরীক্ষায় মোট প্রশ্নের সংখ্যা \( n \)।

প্রথম ২০টি প্রশ্ন থেকে ছাত্রটি শুদ্ধ উত্তর দিয়েছে ১৫টি প্রশ্নে।
বাকি প্রশ্নের সংখ্যা হবে \( n - 20 \)।

এই বাকি প্রশ্নগুলোর এক-তৃতীয়াংশ শুদ্ধ উত্তর দিতে পেরেছে, অর্থাৎ \( \frac{1}{3} (n - 20) \)।

সবমোট শুদ্ধ উত্তরের সংখ্যা: \[ 15 + \frac{1}{3} (n - 20) \] আমরা জানি, ছাত্রটি মোট প্রশ্নের ৫০% শুদ্ধ উত্তর দিয়েছে: \[ \frac{1}{2} n = 15 + \frac{1}{3} (n - 20) \] এখন সমীকরণটি সমাধান করি: \[ \frac{1}{2} n = 15 + \frac{1}{3} (n - 20) \] \[ \frac{1}{2} n = 15 + \frac{1}{3} n - \frac{20}{3} \] সবগুলোকে সাধারণ গুণনীয়কে নিয়ে সমাধান করি: \[ \frac{1}{2} n = 15 + \frac{1}{3} n - \frac{20}{3} \] \[ \frac{3}{6} n = 15 + \frac{2}{6} n - \frac{20}{3} \] \[ \frac{3}{6} n - \frac{2}{6} n = 15 - \frac{20}{3} \] \[ \frac{1}{6} n = 15 - \frac{20}{3} \] \[ \frac{1}{6} n = \frac{45}{3} - \frac{20}{3} \] \[ \frac{1}{6} n = \frac{25}{3} \] \[ n = \frac{25}{3} \times 6 \] \[ n = 50 \] অতএব, ঐ পরীক্ষায় প্রশ্নের সংখ্যা ছিল \( 50 \)।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, স্ট্যাম্প আউট হলো 'ক' জন

∴ কট আউট হলো \(\frac{৩ক}{২}\) জন

∴ প্রশ্নানুসারে, ক + \(\frac{৩ক}{২}\) + ৫ = ১০

বা, \(\frac{৫ক}{২}\) = ৫

∴ ক = ২

∴ কট আউট হলো = \(\frac{৩ × ২}{২}\) জন = ৩ জন

ব্যাখ্যাঃ এই সংখ্যাগুলোর মান নির্ণয় করে তুলনা করব।

ধাপ 1: সংখ্যাগুলোর মান নির্ণয়
- ক: \(0.3\)
- খ: \(\sqrt{0.3} \approx 0.5477\)
- গ: \(\frac{1}{3} \approx 0.3333\)
- ঘ: \(\frac{2}{5} = 0.4\)

ধাপ 2: সংখ্যাগুলো তুলনা
সংখ্যাগুলোকে মানের ভিত্তিতে সাজালে: \[ 0.3 < 0.3333 < 0.4 < 0.5477 \] অর্থাৎ: \[ 0.3 < \frac{1}{3} < \frac{2}{5} < \sqrt{0.3} \] ধাপ 3: ক্ষুদ্রতম সংখ্যা নির্ণয়
উপরের তুলনা থেকে দেখা যাচ্ছে যে \(0.3\) হলো ক্ষুদ্রতম সংখ্যা।

সুতরাং, ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হলো: \[ \boxed{\text{কঃ } 0.3} \]

ব্যাখ্যাঃ ক. \( \frac{৫}{৬} = ০.৮৩\)
খ. \( \frac{১২}{১৫} = ০.৮\)
গ. \( \frac{১১}{১৪} \approx ০.৭৯\) (ক্ষুদ্রতম)
ঘ. \( \frac{১৭}{২১} \approx ০.৮১\)

ব্যাখ্যাঃ \(০.৪৭ \dot{৭}\) নির্দেশ করে যে, এটি একটি পুনরাবর্তিত দশমিক সংখ্যা যেখানে \(৭\) পুনরাবৃত্তি হচ্ছে। একে সাধারণ ভগ্নাংশে পরিণত করার ধাপগুলো নিম্নরূপ:

১. ধরি, \(x = ০.৪৭৭৭...\) (পুনরাবৃত্তি আছে)।
২. \(x\)-এর পুনরাবৃত্তি দূর করতে \(১০\) দিয়ে গুণ করি: \(10x = 4.7777...\)
৩. পুনরায় \(১০\) দিয়ে গুণ করি: \(100x = 47.7777...\)
৪. দুইটি সমীকরণ থেকে বিয়োগ করি: \[ 100x - 10x = 47.7777... - 4.7777... \] \[ 90x = 43 \] ৫. \(x\)-এর মান নির্ণয়: \[ x = \frac{43}{90} \] চূড়ান্ত উত্তর: \(০.৪৭ \dot{৭} = \frac{43}{90}\)।

ব্যাখ্যাঃ \(0 \div 0\) নির্ণয় করা সম্ভব নয়, কারণ গণিতের নিয়ম অনুযায়ী, এটি একটি অসংজ্ঞায়িত (undefined) রাশি।

এর কারণ হলো:
- ভাগফল \(x\)-কে নির্ণয় করতে হলে \(0 \div 0 = x\), যা থেকে পাই \(x \times 0 = 0\)।
- যেকোনো সংখ্যা \(x\) এর জন্য \(x \times 0 = 0\) হয়, তাই এখানে \(x\)-এর একক মান নির্ণয় করা সম্ভব নয়।

অতএব, \(0 \div 0\) অসংজ্ঞায়িত।

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত ভগ্নাংশ: \[ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6} + 2} \] এখন আমরা লঘিষ্ঠ করার জন্য লব্ধি ও হরকে \(\sqrt{6} - 2\) দিয়ে গুণ করি, যাকে লঘিষ্ঠকরণ পদ্ধতি বলা হয়। \[ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6} + 2} \cdot \frac{\sqrt{6} - 2}{\sqrt{6} - 2} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{6} - 2)}{(\sqrt{6} + 2)(\sqrt{6} - 2)} \] এখন হরের গুণফল বের করি। এটি \((a + b)(a - b)\)-এর সূত্র অনুযায়ী হয়: \[ (\sqrt{6})^2 - (2)^2 = 6 - 4 = 2 \] তাহলে ভগ্নাংশটি হয়: \[ \frac{\sqrt{2}(\sqrt{6} - 2)}{2} \] এখন সরল করি: \[ \frac{\sqrt{2}\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{2} \cdot 2}{2} \] \[ = \frac{\sqrt{12}}{2} - \sqrt{2} \] \(\sqrt{12}\) কে সরল করলে পাই \(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\)। তাহলে চূড়ান্ত রূপটি হবে: \[ \frac{2\sqrt{3}}{2} - \sqrt{2} = \sqrt{3} - \sqrt{2} \] উত্তর: \[ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6} + 2} = \sqrt{3} - \sqrt{2} \]

ব্যাখ্যাঃ ১ কে ২ দিয়ে ভাগ করলে ফলাফল হয় \( \frac{১}{২} \), যা দশমিক আকারে \( ০.৫ \)।

বিকল্পগুলো বিশ্লেষণ করলে:
ক) \( ০.৫০ \) → সঠিক (শূন্য যোগ করলে মান একই থাকে)।
খ) \( ০.৫০০ \) → সঠিক (অতিরিক্ত শূন্য যোগ করলেও মান অপরিবর্তিত থাকে)।
গ) সবগুলোই → সঠিক, কারণ পূর্বের দুটি উত্তরই একই মান প্রকাশ করে।
ঘ) \( \frac{১}{২} \) → সঠিক, এটি ভগ্নাংশে সঠিক মান।

সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো গঃ সবগুলোই।

ব্যাখ্যাঃ ধরা যাক, সংখ্যাটি \( x \)। প্রশ্ন অনুসারে: $$\frac{১}{২}x + ৬ = \frac{২}{৩}x$$ এই সমীকরণটি সমাধান করতে: প্রথমে উভয় পাশে ৬ বাদ দিন: $$\frac{১}{২}x = \frac{২}{৩}x - ৬$$ এরপর \( x \)-এর একই গুণফলটি পাওয়ার জন্য উভয় পাশে ৬ গুণ করুন: $$৬(\frac{১}{২}x) = ৬(\frac{২}{৩}x - ৬)$$ সরলীকরণ করে: $$৩x = ৪x - ৩৬$$ পরবর্তীতে, উভয় দিকে \( ৪x \)-এর গুণফল বাদ দিন: $$৩৬ = ৪x - ৩x$$ অতঃপর: $$৩৬ = x$$ সুতরাং, সংখ্যাটি ৩৬।