ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী: - ৪টি ১ টাকার নোটের মোট মূল্য = $4\times 1=4$ টাকা - ৮টি ২ টাকার নোটের মোট মূল্য = $8\times 2=16$ টাকা - ৮টি ৫ টাকার নোটের মোট মূল্য = $8\times 5=40$ টাকা এখন, প্রথম দুটি মান যোগ করি: $$4+16=20\text{ টাকা}$$ এটি ৮টি ৫ টাকার নোটের মোট টাকার কত অংশ তা নির্ণয় করতে, $$\frac{20}{40}=\frac{1}{2}$$ ✅ উত্তর: $\frac{1}{2}$

ব্যাখ্যাঃ আপনাকে সাহায্য করতে পেরে আমি আনন্দিত। এখানে, শিক্ষা সফরে কতজন ছাত্র/ছাত্রী গিয়েছিল, তা বের করার জন্য একটি পদ্ধতি অনুসরণ করা হলো: ধাপ ১: চলক ধরা মনে করি, প্রথমে বাসে x জন ছাত্র/ছাত্রী ছিল। ধাপ ২: মাথাপিছু ভাড়া নির্ণয় ২৪০০ টাকায় বাস ভাড়া করা হলে, জন প্রতি ভাড়া হবে ২৪০০/x টাকা। ধাপ ৩: নতুন সংখ্যা ও ভাড়ার সম্পর্ক তৈরি ১০ জন ছাত্র/ছাত্রী বেশি যাওয়ায়, মোট ছাত্র/ছাত্রীর সংখ্যা দাঁড়ায় x + ১০ জন। এখন, জন প্রতি ভাড়া হয় ২৪০০/(x + ১০) টাকা। ধাপ ৪: সমীকরণ গঠন প্রশ্নমতে, পূর্বের ভাড়া থেকে বর্তমান ভাড়া ৮ টাকা কম হওয়ায়, আমরা নিম্নলিখিত সমীকরণটি পাই: ২৪০০/x - ২৪০০/(x + ১০) = ৮ ধাপ ৫: সমীকরণ সমাধান উভয় পক্ষকে ৮ দিয়ে ভাগ করে পাই: ৩০০/x - ৩০০/(x + ১০) = ১ উভয় পক্ষকে x(x + ১০) দিয়ে গুণ করে পাই: ৩০০(x + ১০) - ৩০০x = x(x + ১০) সরলীকরণ করে পাই: x^২ + ১০x - ৩০০০ = ০ এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। এটিকে সমাধান করে পাই: x = -৬০ অথবা x = ৫০ যেহেতু ছাত্র/ছাত্রীর সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই x = ৫০। ধাপ ৬: মোট ছাত্র/ছাত্রীর সংখ্যা নির্ণয় অতএব, প্রথমে বাসে ৫০ জন ছাত্র/ছাত্রী ছিল। মোট ছাত্র/ছাত্রীর সংখ্যা = ৫০ + ১০ = ৬০ জন। উত্তর: শিক্ষা সফরে মোট ৬০ জন ছাত্র/ছাত্রী গিয়েছিল। যদি কোথাও বুঝতে অসুবিধা হয়, তবে জিজ্ঞাসা করতে পারেন।

ব্যাখ্যাঃ ধরা যাক, ১২ জন শ্রমিক ৩ দিনে মোট ৭২০ টাকা আয় করেছে। এটি প্রমাণ করে যে, ১ জন শ্রমিক ৩ দিনে আয় করেছে: $$\frac{720}{12}=60\text{ টাকা}$$ তাহলে, ১ জন শ্রমিক ৩ দিনে 60 টাকা আয় করে। এখন, ৯ জন শ্রমিক ৩ দিনে মোট আয় করবে: $$9\times 60=540\text{ টাকা}$$ অতএব, ৯ জন শ্রমিক সমপরিমাণ টাকা আয় করবে ৫৪০ টাকা।

ব্যাখ্যাঃ ক এবং খ একত্রে একটি কাজ ১২ দিনে করতে পারে। এর মানে হল তারা ১ দিনে ১/১২ অংশ কাজ করতে পারে। ক একা কাজটি ২০ দিনে করতে পারে, অর্থাৎ ক ১ দিনে ১/২০ অংশ কাজ করতে পারে। এখন, খ একা কাজটি কত দিনে করতে পারবে, তা বের করতে হবে।
যেহেতু ক এবং খ একত্রে ১ দিনে ১/১২ অংশ কাজ করে এবং ক একা ১ দিনে ১/২০ অংশ কাজ করে, তাই খ একা ১ দিনে (১/১২ - ১/২০) অংশ কাজ করে।
(১/১২ - ১/২০) = (৫ - ৩)/৬০ = ২/৬০ = ১/৩০
অতএব, খ একা ১ দিনে ১/৩০ অংশ কাজ করে। সুতরাং, খ একা কাজটি করতে ৩০ দিন সময় নেবে।
উত্তর: খ একা কাজটি ৩০ দিনে করতে পারবে।

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে আমরা নির্ণয় করি যে, সম্পূর্ণ কাজটি করতে কতদিন সময় লাগবে। যদি ৩ দিনে কাজের $\frac{১}{২৭}$ অংশ শেষ হয়, তাহলে সম্পূর্ণ কাজটি শেষ করতে সময় লাগবে: $$৩\times ২৭=৮১\text{ দিন}$$ এখন, ৩ গুন কাজের জন্য সময় হিসাব করতে: $$৩\times ৮১=২৪৩\text{ দিন}$$ সুতরাং, ঐ কাজের ৩ গুন কাজ করতে ২৪৩ দিন লাগবে।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, $x$ জন ছাত্র উভয়টিই খেলে। মোট ছাত্র সংখ্যা ৩০, যার মধ্যে ৫ জন কিছুই খেলে না। সুতরাং, যারা কমপক্ষে একটিতে খেলে তাদের সংখ্যা হবে: $$৩০-৫=২৫$$ আমরা জানি ১৮ জন ফুটবল খেলে এবং ১৪ জন ক্রিকেট খেলে। যারা কমপক্ষে একটিতে খেলে তাদের সংখ্যা হবে: $$১৮+১৪-x=২৫$$ এখন, সমীকরণটি সমাধান করি: $$৩২-x=২৫$$ $$x=৩২-২৫$$ $$x=৭$$ তাহলে, ৭ জন ছাত্র উভয়টিই খেলে।

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে আমরা কাজের মোট পরিমাণ নির্ণয় করি। ৮ জন লোক ১২ দিনে কাজটি করতে পারে, তাহলে কাজের মোট পরিমাণ $8\times 12$ লোক-দিন।

মোট কাজ = $8\times 12=96$ লোক-দিন।

এখন, যদি ৮ জনের বদলে ৬ জন (দুজন কম) লোক কাজটি করে, তবে প্রতি দিনে তারা কতটা কাজ করতে পারবে তা নির্ণয় করি: $$\frac{96\text{ লোক-দিন}}{6\text{ জন}}=16\text{ দিন}$$
অতএব, ৬ জন লোক কাজটি ১৬ দিনে করতে পারবে।

এখন, কাজটি সমাধা করতে কত শতাংশ বেশি দিন লাগবে তা নির্ণয় করি: $$\text{বৃদ্ধির হার}=\left(\frac{১৬-১২}{১২}\right)\times ১০০$$ $$=\left(\frac{৪}{১২}\right)\times ১০০$$ $$=৩৩\frac{১}{৩}\times ১০০$$ $$=৩৩\frac{১}{৩}\mathrm{\%}$$
তাহলে, দুজন লোক কমিয়ে দিলে কাজটি সমাধা করতে $৩৩\frac{১}{৩}\mathrm{\%}$ বেশি দিন লাগবে।

ব্যাখ্যাঃ ধরুন, মেশিন তিনটি যথাক্রমে $A$, $B$, এবং $C$।

মেশিন $A$ এক ঘন্টায় করতে পারে কাজের $\frac{1}{4}$ অংশ।
মেশিন $B$ এক ঘন্টায় করতে পারে কাজের $\frac{1}{5}$ অংশ।
মেশিন $C$ এক ঘন্টায় করতে পারে কাজের $\frac{1}{6}$ অংশ।

সর্বোচ্চ ক্ষমতায় দুটি মেশিন এক ঘন্টায় যতটুকু কাজ করতে পারে, সেটি বের করতে আমাদের তাদের কাজের গড় বের করতে হবে।

সবচেয়ে বেশি কাজ করতে পারে $A$ এবং $B$। এবার $A$ এবং $B$ একসঙ্গে এক ঘন্টায় কাজ করতে পারে: $$\frac{1}{4}+\frac{1}{5}=\frac{5+4}{20}=\frac{9}{20}$$ অতএব, দুটি মেশিন $A$ এবং $B$ একসঙ্গে এক ঘন্টায় কাজের $\frac{9}{20}$ অংশ করতে পারে।

ব্যাখ্যাঃ ধরুন, মোট পরীক্ষার্থীর সংখ্যা $x$।

প্রশ্নে দেয়া শর্ত অনুযায়ী, ৩০% পরীক্ষার্থী পাস করেছে।
অতএব, পাস করেছে $0.3x$।

আরও জানা গেছে, যারা পাস করতে পারেনি তাদের সংখ্যা: $$12+30=42$$ এখন, পাস করেনি: $$x-0.3x=0.7x$$ প্রশ্নে দেয়া শর্ত অনুযায়ী: $$0.7x=42$$ এখন $x$ এর মান বের করি: $$x=\frac{42}{0.7}=60$$ অতএব, মোট পরীক্ষার্থীর সংখ্যা ছিল ৬০ জন।

ব্যাখ্যাঃ সমস্যাটি সমাধান করার জন্য আমরা কাজের হার ব্যবহার করব।

ধরি:
- প্রথম ব্যক্তির কাজের হার = $\frac{1}{12}$ (কাজ/দিন) - দ্বিতীয় ব্যক্তির কাজের হার = $\frac{1}{x}$ (কাজ/দিন) - দুজনের একত্রে কাজের হার = $\frac{1}{8}$ (কাজ/দিন)

দুজনের একত্রে কাজের হার হলো তাদের পৃথক কাজের হারের সমষ্টি। তাই: $$\frac{1}{12}+\frac{1}{x}=\frac{1}{8}$$ এখন সমীকরণটি সমাধান করা যাক: $$\frac{1}{x}=\frac{1}{8}-\frac{1}{12}$$ $$\frac{1}{x}=\frac{3}{24}-\frac{2}{24}$$ $$\frac{1}{x}=\frac{1}{24}$$ $$x=24$$ উত্তর: দ্বিতীয় ব্যক্তি একাকী কাজটি ২৪ দিনে করতে পারবে।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, পুরো কাজটি শেষ করতে ক-এর প্রয়োজন $x$ দিন এবং খ-এর প্রয়োজন ১৪ দিন।
তাহলে, ক ও খ একসাথে ১ দিনে কাজ করে: $$\frac{1}{x}+\frac{1}{14}=\frac{1}{10}$$ $$\frac{1}{x}=\frac{1}{10}-\frac{1}{14}$$ $$=\frac{14-10}{140}=\frac{4}{140}=\frac{1}{35}$$ সুতরাং, ক একা কাজটি ৩৫ দিনে শেষ করতে পারবে।

ব্যাখ্যাঃ ৩২ দিনের খাবার আছে = ১৫ জনের
১ " " " = ১৫×৩২ "
২০ " " " = (১৫×৩২)/২০ "
= ২৪ জনের
∴নতুন ছাত্র = (২৪ - ১৫) = ৯ জন

ব্যাখ্যাঃ ধরি, শফিক $x$ সংখ্যক কলম কিনেছিলেন এবং প্রতিটি কলমের মূল্য $p$ টাকা।

তাহলে, মোট ব্যয়: $$x\times p=240$$ এখন, যদি সে একটি কলম বেশি পেতো, তাহলে প্রতিটি কলমের দাম $1$ টাকা কম হতো।
অর্থাৎ, নতুন প্রতি কলমের দাম $p-1$ টাকা।

নতুন সমীকরণ: $$(x+1)\times (p-1)=240$$ এখন, প্রথম সমীকরণ থেকে $p=\frac{240}{x}$ বসাই: $$(x+1)\times (\frac{240}{x}-1)=240$$ $$(x+1)\times \frac{240-x}{x}=240$$ $$(x+1)(240-x)=240x$$ $$240x-x^2+240-x=240x$$ $$240-x^2-x=0$$ $$x^2+x-240=0$$ $$x^2+x-240=0$$ $$(x-15)(x+16)=0$$ $$x=15$$ সুতরাং, শফিক ১৫টি কলম কিনেছিলেন।