ব্যাখ্যাঃ

যদি কাগজের প্রতি পাতা ২১ পয়সায় বিক্রি হয়, তাহলে চার পাতা বিক্রি হবে:

২১ পয়সা/পাতা × ৪ পাতা = ৮৪ পয়সা

সুতরাং, চার পাতা ৮৪ পয়সায় বিক্রি হবে।

ব্যাখ্যাঃ

যদি প্রতি ফুট দড়ির দাম ১০ টাকা হয়, তবে ৬০ টাকায় তুমি যত ফুট দড়ি ক্রয় করতে পারবে, তা নির্ণয় করার জন্য তোমাকে মোট টাকাকে প্রতি ফুটের দাম দিয়ে ভাগ করতে হবে।

সুতরাং, দড়ির পরিমাণ = মোট টাকা / প্রতি ফুট দড়ির দাম দড়ির পরিমাণ = ৬০ টাকা / ১০ টাকা/ফুট দড়ির পরিমাণ = ৬ ফুট

অতএব, যখন প্রতি ফুট দড়ি ১০ টাকায় বিক্রি হয়, তখন ৬০ টাকায় তুমি ৬ ফুট দড়ি ক্রয় করতে পারবে।

ব্যাখ্যাঃ

ধাপ ১: কাজের হার নির্ণয়

ধরি, B একদিনে \( x \) অংশ কাজ করে, তাহলে A দ্বিগুণ কাজ করতে পারে:
\[
A = 2x
\]
দুইজন একসাথে কাজ করলে, তাদের দৈনিক কাজের হার হবে:
\[
A + B = 2x + x = 3x
\]
আমাদের দেওয়া আছে, তারা ১৪ দিনে পুরো কাজ শেষ করে:
\[
14 \times 3x = 1
\]
\[
x = \frac{1}{42}
\]
অতএব, B একদিনে \( \frac{1}{42} \) অংশ কাজ করতে পারে।

ধাপ ২: A একা কাজ করলে

যেহেতু A = 2x, তাই A একদিনে করবে:
\[
2 \times \frac{1}{42} = \frac{2}{42} = \frac{1}{21}
\]
অতএব, A একা কাজটি শেষ করতে লাগবে:
\[
\frac{1}{21} \text{ অংশ প্রতি দিন} \Rightarrow ২১ দিনে পুরো কাজ
\]

ব্যাখ্যাঃ মনে করি,
সম্পূর্ণ কাজ = $1$ অংশ।

দুই ব্যক্তি একত্রে কাজটি ৮ দিনে করতে পারে।
অতএব, দুই ব্যক্তি ১ দিনে করে = $\frac{1}{8}$ অংশ কাজ।

প্রথম ব্যক্তি একা কাজটি ১২ দিনে করতে পারে।
অতএব, প্রথম ব্যক্তি ১ দিনে করে = $\frac{1}{12}$ অংশ কাজ।

দ্বিতীয় ব্যক্তি একা কাজটি কত দিনে করতে পারবে তা বের করতে হবে।
ধরি, দ্বিতীয় ব্যক্তি একা কাজটি $x$ দিনে করতে পারে।
অতএব, দ্বিতীয় ব্যক্তি ১ দিনে করে = $\frac{1}{x}$ অংশ কাজ।

আমরা জানি, (প্রথম ব্যক্তির ১ দিনের কাজ) + (দ্বিতীয় ব্যক্তির ১ দিনের কাজ) = (দুই ব্যক্তির একত্রে ১ দিনের কাজ)
$\frac{1}{12} + \frac{1}{x} = \frac{1}{8}$

এখন $x$ এর মান বের করি:
$\frac{1}{x} = \frac{1}{8} - \frac{1}{12}$

ভগ্নাংশ দুটির সাধারণ হর নির্ণয় করি, ৮ এবং ১২ এর ল.সা.গু. হলো ২৪।
$\frac{1}{x} = \frac{3}{24} - \frac{2}{24}$
$\frac{1}{x} = \frac{3 - 2}{24}$
$\frac{1}{x} = \frac{1}{24}$

সুতরাং, $x = 24$।

অতএব, দ্বিতীয় ব্যক্তি একা ঐ কাজটি ২৪ দিনে করতে পারবে।

ব্যাখ্যাঃ সমাধানটি নিচে দেওয়া হলো:

মিষ্টির মোট দাম = প্রতি কেজি ৩৫০ টাকা $\times$ ৩ কেজি = ১০৫০ টাকা

ভ্যাটের হার = ৪ টাকা হারে (প্রতি ১০০ টাকায় ৪ টাকা)

মোট ভ্যাটের পরিমাণ = মিষ্টির মোট দাম $\times$ ভ্যাটের হার
= ১০৫০ টাকা $\times$ ৪%
= ১০৫০ $\times \frac{৪}{১০০}$
= $\frac{৪২০০}{১০০}$
= ৪২ টাকা

সুতরাং, মোট ৪২ টাকা ভ্যাট দিতে হবে।

ব্যাখ্যাঃ
রহিম কাজটি করতে পারে ১৫ দিনে। সুতরাং, ১ দিনে সে করে $\frac{1}{15}$ অংশ।
করিম কাজটি করতে পারে ৬ দিনে। সুতরাং, ১ দিনে সে করে $\frac{1}{6}$ অংশ।
গাজী কাজটি করতে পারে ১০ দিনে। সুতরাং, ১ দিনে সে করে $\frac{1}{10}$ অংশ।

তারা তিন জনে একত্রে ১ দিনে মোট কাজ করবে:
$\frac{1}{15} + \frac{1}{6} + \frac{1}{10}$
$= \frac{2+5+3}{30}$ (লসাগু 30)
$= \frac{10}{30}$
$= \frac{1}{3}$ অংশ।

যেহেতু তারা ১ দিনে $\frac{1}{3}$ অংশ কাজ করে, তাহলে পুরো কাজটি করতে তাদের সময় লাগবে ৩ দিন।

ব্যাখ্যাঃ
ক ও খ একত্রে ১২ দিনে কাজটি করতে পারে। তাই, ১ দিনে তারা করে $\frac{1}{12}$ অংশ।
ক একা ২০ দিনে কাজটি করতে পারে। তাই, ১ দিনে সে করে $\frac{1}{20}$ অংশ।

খ একা ১ দিনে যে কাজ করে = (ক ও খ এর ১ দিনের কাজ) - (ক এর ১ দিনের কাজ)
$= \frac{1}{12} - \frac{1}{20}$
$= \frac{5 - 3}{60}$ (লসাগু ৬০)
$= \frac{2}{60}$
$= \frac{1}{30}$ অংশ।

সুতরাং, খ একা কাজটি করতে পারবে ৩০ দিনে।

ব্যাখ্যাঃ

ব্যাখ্যাঃ

আপনাকে সাহায্য করতে পেরে আমি আনন্দিত। এখানে, শিক্ষা সফরে কতজন ছাত্র/ছাত্রী গিয়েছিল, তা বের করার জন্য একটি পদ্ধতি অনুসরণ করা হলো: ধাপ ১: চলক ধরা মনে করি, প্রথমে বাসে x জন ছাত্র/ছাত্রী ছিল। ধাপ ২: মাথাপিছু ভাড়া নির্ণয় ২৪০০ টাকায় বাস ভাড়া করা হলে, জন প্রতি ভাড়া হবে ২৪০০/x টাকা। ধাপ ৩: নতুন সংখ্যা ও ভাড়ার সম্পর্ক তৈরি ১০ জন ছাত্র/ছাত্রী বেশি যাওয়ায়, মোট ছাত্র/ছাত্রীর সংখ্যা দাঁড়ায় x + ১০ জন। এখন, জন প্রতি ভাড়া হয় ২৪০০/(x + ১০) টাকা। ধাপ ৪: সমীকরণ গঠন প্রশ্নমতে, পূর্বের ভাড়া থেকে বর্তমান ভাড়া ৮ টাকা কম হওয়ায়, আমরা নিম্নলিখিত সমীকরণটি পাই: ২৪০০/x - ২৪০০/(x + ১০) = ৮ ধাপ ৫: সমীকরণ সমাধান উভয় পক্ষকে ৮ দিয়ে ভাগ করে পাই: ৩০০/x - ৩০০/(x + ১০) = ১ উভয় পক্ষকে x(x + ১০) দিয়ে গুণ করে পাই: ৩০০(x + ১০) - ৩০০x = x(x + ১০) সরলীকরণ করে পাই: x^২ + ১০x - ৩০০০ = ০ এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। এটিকে সমাধান করে পাই: x = -৬০ অথবা x = ৫০ যেহেতু ছাত্র/ছাত্রীর সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই x = ৫০। ধাপ ৬: মোট ছাত্র/ছাত্রীর সংখ্যা নির্ণয় অতএব, প্রথমে বাসে ৫০ জন ছাত্র/ছাত্রী ছিল। মোট ছাত্র/ছাত্রীর সংখ্যা = ৫০ + ১০ = ৬০ জন। উত্তর: শিক্ষা সফরে মোট ৬০ জন ছাত্র/ছাত্রী গিয়েছিল। যদি কোথাও বুঝতে অসুবিধা হয়, তবে জিজ্ঞাসা করতে পারেন।

ব্যাখ্যাঃ ধরা যাক, ১২ জন শ্রমিক ৩ দিনে মোট ৭২০ টাকা আয় করেছে। এটি প্রমাণ করে যে, ১ জন শ্রমিক ৩ দিনে আয় করেছে: \[ \frac{720}{12} = 60 \text{ টাকা} \] তাহলে, ১ জন শ্রমিক ৩ দিনে 60 টাকা আয় করে। এখন, ৯ জন শ্রমিক ৩ দিনে মোট আয় করবে: \[ 9 \times 60 = 540 \text{ টাকা} \] অতএব, ৯ জন শ্রমিক সমপরিমাণ টাকা আয় করবে ৫৪০ টাকা।

ব্যাখ্যাঃ

ক এবং খ একত্রে একটি কাজ ১২ দিনে করতে পারে। এর মানে হল তারা ১ দিনে ১/১২ অংশ কাজ করতে পারে। ক একা কাজটি ২০ দিনে করতে পারে, অর্থাৎ ক ১ দিনে ১/২০ অংশ কাজ করতে পারে। এখন, খ একা কাজটি কত দিনে করতে পারবে, তা বের করতে হবে।
যেহেতু ক এবং খ একত্রে ১ দিনে ১/১২ অংশ কাজ করে এবং ক একা ১ দিনে ১/২০ অংশ কাজ করে, তাই খ একা ১ দিনে (১/১২ - ১/২০) অংশ কাজ করে।
(১/১২ - ১/২০) = (৫ - ৩)/৬০ = ২/৬০ = ১/৩০
অতএব, খ একা ১ দিনে ১/৩০ অংশ কাজ করে। সুতরাং, খ একা কাজটি করতে ৩০ দিন সময় নেবে।
উত্তর: খ একা কাজটি ৩০ দিনে করতে পারবে।

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে আমরা নির্ণয় করি যে, সম্পূর্ণ কাজটি করতে কতদিন সময় লাগবে। যদি ৩ দিনে কাজের \(\frac{১}{২৭}\) অংশ শেষ হয়, তাহলে সম্পূর্ণ কাজটি শেষ করতে সময় লাগবে: \[ ৩ \times ২৭ = ৮১ \text{ দিন} \] এখন, ৩ গুন কাজের জন্য সময় হিসাব করতে: \[ ৩ \times ৮১ = ২৪৩ \text{ দিন} \] সুতরাং, ঐ কাজের ৩ গুন কাজ করতে ২৪৩ দিন লাগবে।

ব্যাখ্যাঃ ধরি, \( x \) জন ছাত্র উভয়টিই খেলে। মোট ছাত্র সংখ্যা ৩০, যার মধ্যে ৫ জন কিছুই খেলে না। সুতরাং, যারা কমপক্ষে একটিতে খেলে তাদের সংখ্যা হবে: \[ ৩০ - ৫ = ২৫ \] আমরা জানি ১৮ জন ফুটবল খেলে এবং ১৪ জন ক্রিকেট খেলে। যারা কমপক্ষে একটিতে খেলে তাদের সংখ্যা হবে: \[ ১৮ + ১৪ - x = ২৫ \] এখন, সমীকরণটি সমাধান করি: \[ ৩২ - x = ২৫ \] \[ x = ৩২ - ২৫ \] \[ x = ৭ \] তাহলে, ৭ জন ছাত্র উভয়টিই খেলে।

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে আমরা কাজের মোট পরিমাণ নির্ণয় করি। ৮ জন লোক ১২ দিনে কাজটি করতে পারে, তাহলে কাজের মোট পরিমাণ \( 8 \times 12 \) লোক-দিন।

মোট কাজ = \( 8 \times 12 = 96 \) লোক-দিন।

এখন, যদি ৮ জনের বদলে ৬ জন (দুজন কম) লোক কাজটি করে, তবে প্রতি দিনে তারা কতটা কাজ করতে পারবে তা নির্ণয় করি: \[ \frac{96 \text{ লোক-দিন}}{6 \text{ জন}} = 16 \text{ দিন} \]
অতএব, ৬ জন লোক কাজটি ১৬ দিনে করতে পারবে।

এখন, কাজটি সমাধা করতে কত শতাংশ বেশি দিন লাগবে তা নির্ণয় করি: \[ \text{বৃদ্ধির হার} = \left(\frac{১৬ - ১২}{১২}\right) \times ১০০ \] \[ = \left(\frac{৪}{১২}\right) \times ১০০ \] \[ = ৩৩\frac{১}{৩} \times ১০০ \] \[ = ৩৩\frac{১}{৩}\% \]
তাহলে, দুজন লোক কমিয়ে দিলে কাজটি সমাধা করতে \(৩৩\frac{১}{৩}\%\) বেশি দিন লাগবে।

ব্যাখ্যাঃ ধরুন, মেশিন তিনটি যথাক্রমে \(A\), \(B\), এবং \(C\)।

মেশিন \(A\) এক ঘন্টায় করতে পারে কাজের \(\frac{1}{4}\) অংশ।
মেশিন \(B\) এক ঘন্টায় করতে পারে কাজের \(\frac{1}{5}\) অংশ।
মেশিন \(C\) এক ঘন্টায় করতে পারে কাজের \(\frac{1}{6}\) অংশ।

সর্বোচ্চ ক্ষমতায় দুটি মেশিন এক ঘন্টায় যতটুকু কাজ করতে পারে, সেটি বের করতে আমাদের তাদের কাজের গড় বের করতে হবে।

সবচেয়ে বেশি কাজ করতে পারে \(A\) এবং \(B\)। এবার \(A\) এবং \(B\) একসঙ্গে এক ঘন্টায় কাজ করতে পারে: \[ \frac{1}{4} + \frac{1}{5} = \frac{5 + 4}{20} = \frac{9}{20} \] অতএব, দুটি মেশিন \(A\) এবং \(B\) একসঙ্গে এক ঘন্টায় কাজের \(\frac{9}{20}\) অংশ করতে পারে।

ব্যাখ্যাঃ ধরুন, মোট পরীক্ষার্থীর সংখ্যা \( x \)।

প্রশ্নে দেয়া শর্ত অনুযায়ী, ৩০% পরীক্ষার্থী পাস করেছে।
অতএব, পাস করেছে \( 0.3x \)।

আরও জানা গেছে, যারা পাস করতে পারেনি তাদের সংখ্যা: \[ 12 + 30 = 42 \] এখন, পাস করেনি: \[ x - 0.3x = 0.7x \] প্রশ্নে দেয়া শর্ত অনুযায়ী: \[ 0.7x = 42 \] এখন \( x \) এর মান বের করি: \[ x = \frac{42}{0.7} = 60 \] অতএব, মোট পরীক্ষার্থীর সংখ্যা ছিল ৬০ জন।

ব্যাখ্যাঃ সমস্যাটি সমাধান করার জন্য আমরা কাজের হার ব্যবহার করব।

ধরি:
- প্রথম ব্যক্তির কাজের হার = \( \frac{1}{12} \) (কাজ/দিন) - দ্বিতীয় ব্যক্তির কাজের হার = \( \frac{1}{x} \) (কাজ/দিন) - দুজনের একত্রে কাজের হার = \( \frac{1}{8} \) (কাজ/দিন)

দুজনের একত্রে কাজের হার হলো তাদের পৃথক কাজের হারের সমষ্টি। তাই: \[ \frac{1}{12} + \frac{1}{x} = \frac{1}{8} \] এখন সমীকরণটি সমাধান করা যাক: \[ \frac{1}{x} = \frac{1}{8} - \frac{1}{12} \] \[ \frac{1}{x} = \frac{3}{24} - \frac{2}{24} \] \[ \frac{1}{x} = \frac{1}{24} \] \[ x = 24 \] উত্তর: দ্বিতীয় ব্যক্তি একাকী কাজটি ২৪ দিনে করতে পারবে।

ব্যাখ্যাঃ ১. প্রথমে শ্রমিক এবং কাজের সম্পর্ক বিশ্লেষণ করি:

৫ জন শ্রমিক ৫ দিনে ৫টি কাপড় তৈরি করতে পারে।
অর্থাৎ, ৫ জন শ্রমিক প্রতিদিন তৈরি করতে পারে \( \frac{৫}{৫} = ১ \) কাপড়।
তাহলে ১ জন শ্রমিক প্রতিদিন তৈরি করতে পারে: \[ \frac{১}{৫} \text{ কাপড়।} \] ২. ৭টি কাপড় তৈরি করতে ৭ জন শ্রমিকের দৈনিক কাজের ক্ষমতা বের করি:

৭ জন শ্রমিক একদিনে তৈরি করতে পারে: \[ ৭ \times \frac{১}{৫} = \frac{৭}{৫} \text{ কাপড়।} \] ৩. ৭টি কাপড় তৈরি করতে সময় বের করি:

যদি ৭ জন শ্রমিক প্রতিদিন \( \frac{৭}{৫} \) কাপড় তৈরি করে, তাহলে ৭টি কাপড় তৈরি করতে সময় লাগবে: \[ \frac{৭}{\frac{৭}{৫}} = ৫ \text{ দিন।} \]

ব্যাখ্যাঃ ধরি, পুরো কাজটি শেষ করতে ক-এর প্রয়োজন \( x \) দিন এবং খ-এর প্রয়োজন ১৪ দিন।
তাহলে, ক ও খ একসাথে ১ দিনে কাজ করে: \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{14} = \frac{1}{10} \] \[ \frac{1}{x} = \frac{1}{10} - \frac{1}{14} \] \[ = \frac{14 - 10}{140} = \frac{4}{140} = \frac{1}{35} \] সুতরাং, ক একা কাজটি ৩৫ দিনে শেষ করতে পারবে।

ব্যাখ্যাঃ

৩২ দিনের খাবার আছে = ১৫ জনের
১ " " " = ১৫×৩২ "
২০ " " " = (১৫×৩২)/২০ "
= ২৪ জনের
∴নতুন ছাত্র = (২৪ - ১৫) = ৯ জন

ব্যাখ্যাঃ ধরি, শফিক \( x \) সংখ্যক কলম কিনেছিলেন এবং প্রতিটি কলমের মূল্য \( p \) টাকা।

তাহলে, মোট ব্যয়: \[ x \times p = 240 \] এখন, যদি সে একটি কলম বেশি পেতো, তাহলে প্রতিটি কলমের দাম \( 1 \) টাকা কম হতো।
অর্থাৎ, নতুন প্রতি কলমের দাম \( p - 1 \) টাকা।

নতুন সমীকরণ: \[ (x + 1) \times (p - 1) = 240 \] এখন, প্রথম সমীকরণ থেকে \( p = \frac{240}{x} \) বসাই: \[ (x + 1) \times \left(\frac{240}{x} - 1\right) = 240 \] \[ (x + 1) \times \frac{240 - x}{x} = 240 \] \[ (x + 1)(240 - x) = 240x \] \[ 240x - x^2 + 240 - x = 240x \] \[ 240 - x^2 - x = 0 \] \[ x^2 + x - 240 = 0 \] \[ x^2 + x - 240 = 0 \] \[ (x - 15)(x + 16) = 0 \] \[ x = 15 \quad \] সুতরাং, শফিক ১৫টি কলম কিনেছিলেন।

ব্যাখ্যাঃ মনে করি, বেঞ্চের সংখ্যা $B$ এবং ছাত্র সংখ্যা $S$।

প্রথম শর্তানুযায়ী:
প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে ছাত্র বসালে ৩টি বেঞ্চ খালি থাকে।
অর্থাৎ, ছাত্র বসেছে $(B - 3)$টি বেঞ্চে।
তাহলে, ছাত্র সংখ্যা $S = 4 \times (B - 3)$
$S = 4B - 12$ --- (১)

দ্বিতীয় শর্তানুযায়ী:
প্রতি বেঞ্চে ৩ জন করে ছাত্র বসালে ৬ জন ছাত্রকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়।
অর্থাৎ, সব বেঞ্চে ৩ জন করে বসার পর ৬ জন অতিরিক্ত থাকে।
তাহলে, ছাত্র সংখ্যা $S = 3B + 6$ --- (২)

এখন, (১) ও (২) নং সমীকরণ থেকে পাই:
$4B - 12 = 3B + 6$

$4B - 3B = 6 + 12$
$B = 18$

বেঞ্চের সংখ্যা ১৮টি।
এখন, বেঞ্চের সংখ্যা (১) নং সমীকরণে বসিয়ে ছাত্র সংখ্যা নির্ণয় করি:
$S = 4B - 12$
$S = 4 \times 18 - 12$
$S = 72 - 12$
$S = 60$

সুতরাং, ঐ শ্রেণির ছাত্র সংখ্যা ৬০ জন।

উত্তর: ঐ শ্রেণির ছাত্র সংখ্যা ৬০ জন।

ব্যাখ্যাঃ রিতু ও সিতু একত্রে একটি কাজ ৮ দিনে করতে পারে।
সুতরাং, ১ দিনে তারা কাজটির $\frac{১}{৮}$ অংশ করতে পারে।

তারা ৬ দিন কাজ করার পর সিতু চলে গেল।
৬ দিনে তারা কাজ করলো = $৬ \times \frac{১}{৮}$ অংশ
$= \frac{৬}{৮}$ অংশ
$= \frac{৩}{৪}$ অংশ

কাজটির মোট অংশ হলো ১ (বা সম্পূর্ণ কাজ)।
কাজটির বাকি অংশ = $১ - \frac{৩}{৪}$ অংশ
$= \frac{৪ - ৩}{৪}$ অংশ
$= \frac{১}{৪}$ অংশ

কাজটির $\frac{১}{৪}$ অংশ বাকি থাকবে।

ব্যাখ্যাঃ

ধরি, কাফি ১ দিনে কাজ করে = ১/১০ অংশ খলিল ১ দিনে কাজ করে = ১/১৫ অংশ

তারা একত্রে ১ দিনে কাজ করে = (১/১০ + ১/১৫) অংশ = (৩+২)/৩০ অংশ = ৫/৩০ অংশ = ১/৬ অংশ

সুতরাং, তারা একত্রে পুরো কাজটি করতে পারবে ৬ দিনে।