যদি দুটি সংখ্যার যোগফল এবং গুণফল যথাক্রমে 20 এবং 96 হয়, তবে সংখ্যা দুইটির ব্যস্তানুপাতিক (reciprocals) যোগফল কত হবে?

প্রশ্নঃ x² + y² + z² = 2, xy + yz + zx = 1 হলে, (x + 2y)² + (y + 2z)² + (z + 2x)² এর মান-

[ বিসিএস ৪৬তম ]

ক. 12

খ. 19

গ. 16

ঘ. 14

প্রশ্নঃ 3x – y = 3, 5x + y = 21 হলে (x, y) এর মান-

[ বিসিএস ৪৬তম ]

ক. (2, 5)

খ. (2, 6)

গ. (3, 5)

ঘ. (3, 6)

প্রশ্নঃ $x^{2} y + x y^{2}$ এবং $x^{2} + x y$ রাশিদ্বয়ের ল.সা.গু এবং গ.সা.গু এর গুণফল কত?

[ বিসিএস ৪৫তম ]

ক. x²y²(x + y)

খ. xy(x² + y²)

গ. x²y(x + y)²

ঘ. xy²(x² + y)

প্রশ্নঃ (x + 5)² = x² + bx + c সমীকরণে b ও c এর মান কত হলে সমীকরণটি অভেদ হবে?

[ বিসিএস ৪৫তম ]

ক. 3, 10

খ. 10, 15

গ. 15, 25

ঘ. 10, 25

প্রশ্নঃ p + q = 5 এবং p – q = 3 হলে p² + q² এর মান কত?

[ বিসিএস ৪৫তম ]

ক. 8

খ. 17

গ. 19

ঘ. 34

প্রশ্নঃ বাস্তব সংখ্যায় $| 3 x + 2 | < 7$ অসমতাটির সমাধান:

[ বিসিএস ৪৪তম ]

ক.

\frac{- 5}{3} < x < \frac{5}{3}

খ.

- 3 < x < \frac{5}{3}

ক.

- 3 < x < 3

খ.

- 3 < x < \frac{5}{3}

গ.

\frac{5}{3} < x < \frac{- 5}{3}

ক.

- 3 < x < 3

খ.

\frac{- 5}{3} < x < \frac{5}{3}

গ.

- 3 < x < \frac{5}{3}

ঘ.

\frac{5}{3} < x < \frac{- 5}{3}

উত্তরঃ

- 3 < x < \frac{5}{3}

প্রশ্নঃ $6 a^{2} b c$ এবং $4 a^{3} b^{2} c^{2}$ -এর সংখ্যা সহগের গ.সা.গু. নিচের কোনটি?

[ বিসিএস ৪৪তম ]

ক.

2 a^{2} b c

খ.

2 a^{2} b^{2} c^{2}

ক.

a^{2} b c

খ. কোনটিই নয়

গ.

2 a^{2} b c

ক.

a^{2} b c

খ.

2 a^{2} b c

গ.

2 a^{2} b^{2} c^{2}

ঘ. কোনটিই নয়

উত্তরঃ

2 a^{2} b c

প্রশ্নঃ $5 x - x^{2} - 6 > 0$ হলে, নিচের কোনটি সঠিক?

[ বিসিএস ৪৩তম ]

ক.

2 > x > 3

খ.

2 < x < 3

ক.

x > 3, x < 2

খ.

x < 2

গ.

2 < x < 3

ক.

x > 3, x < 2

খ.

2 > x > 3

গ.

x < 2

ঘ.

2 < x < 3

উত্তরঃ

2 < x < 3

প্রশ্নঃ $x = \sqrt{4} + \sqrt{3}$ হলে, $x^{3} + \frac{1}{x^{3}}$ এর মান কত?

[ বিসিএস ৪৩তম ]

ক.

2 \sqrt{5}

খ.

52

ক.

52

খ.

5 \sqrt{3}

গ.

2 \sqrt{5}

ক.

5 \sqrt{3}

খ.

52

গ.

5 \sqrt{2}

ঘ.

2 \sqrt{5}

উত্তরঃ

52

প্রশ্নঃ $x^{2} - 3 x - 10 > 0$ অসমতাটির সমাধান কোনটি?

[ বিসিএস ৪২তম ]

ক.

(- \infty, - 2) \cup (5, + \infty)

খ.

(- 5, - \infty) \cup (\infty, 2)

ক.

(- 5, - \infty) \cup (\infty, 2)

খ.

(\infty, 2) \cup (5, + \infty)

গ.

(- \infty, - 2) \cup (5, + \infty)

ক.

(- \infty, - 1) \cup (4, + \infty)

খ.

(- \infty, - 2) \cup (5, + \infty)

গ.

(\infty, 2) \cup (5, + \infty)

ঘ.

(- 5, - \infty) \cup (\infty, 2)

উত্তরঃ

(- 5, - \infty) \cup (\infty, 2)

প্রশ্নঃ $| x - 2 | < 3$ হলে, $m$ এবং $n$ এর কোন মানের জন্য $m < 3 x + 5 < n$ হবে?

[ বিসিএস ৪১তম ]

ক.

m = 1, n = 10

খ.

m = 2, n = 20

ক.

m = 2, n = 20

খ.

m = 4, n = 40

গ.

m = 1, n = 10

ক.

m = 1, n = 10

খ.

m = 2, n = 20

গ.

m = 3, n = 30

ঘ.

m = 4, n = 40

উত্তরঃ

m = 2, n = 20

প্রশ্নঃ $a + b = 7$ এবং $a b = 12$ হলে $\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}}$ এর মান কত?

[ বিসিএস ৪১তম ]

ক.

\frac{11}{49}

খ.

\frac{25}{144}

ক.

\frac{3}{25}

খ.

\frac{11}{49}

গ.

\frac{25}{144}

ক.

\frac{3}{25}

খ.

\frac{25}{144}

গ.

\frac{31}{144}

ঘ.

\frac{11}{49}

উত্তরঃ

\frac{25}{144}

প্রশ্নঃ $x = \sqrt{3} + \sqrt{2}$ হলে, $x^{3} + \frac{1}{x^{3}}$ এর মান কত?

[ বিসিএস ৩৮তম ]

ক.

3 \sqrt{2}

খ.

18 \sqrt{3}

ক.

18 \sqrt{3}

খ.

3 \sqrt{2}

গ.

12 \sqrt{3}

ক.

3 \sqrt{2}

খ.

18 \sqrt{3}

গ.

12 \sqrt{3}

ঘ. 8

উত্তরঃ

18 \sqrt{3}

প্রশ্নঃ $x^{2} - 3 x + 1 = 0$ হলে, $(x^{2} - \frac{1}{x^{2}})$ এর মান-

[ বিসিএস ৩৭তম ]

ক.

3 \sqrt{5}

খ.

6 \sqrt{5}

ক.

5 \sqrt{3}

খ.

3 \sqrt{5}

গ.

6 \sqrt{5}

ক.

5 \sqrt{3}

খ.

3 \sqrt{5}

গ.

4 \sqrt{5}

ঘ.

6 \sqrt{5}

উত্তরঃ

3 \sqrt{5}

প্রশ্নঃ $x^{2} - 5 x + 6 < 0$ হলে-

[ বিসিএস ৩৭তম ]

ক.

x < 2

খ.

2 < x < 3

ক.

x < 2

খ.

x < 3

গ.

2 < x < 3

ক.

2 < x < 3

খ.

- 3 < x < - 2

গ.

x < 2

ঘ.

x < 3

উত্তরঃ

2 < x < 3

প্রশ্নঃ $x^{2} + y^{2} = 185,$ $x - y = 3$ এর একটি সমাধান হল:

[ বিসিএস ৩৬তম ]

ক. (7, 4)

খ. (9, 6)

গ. (10, 7)

ঘ. (11, 8)

প্রশ্নঃ $x - \frac{1}{x} = 1$ হলে, $x^{3} - \frac{1}{x^{3}}$ এর মান কত?

[ বিসিএস ৩৬তম ]

ক. 1

খ. 2

গ. 3

ঘ. 4

প্রশ্নঃ x - y = 2 এবং xy = 24 হলে, x এর ধনাত্মক মানটি-

[ বিসিএস ৩৫তম ]

ক. 3

খ. 4

গ. 5

ঘ. 6

প্রশ্নঃ $\frac{3}{x} + \frac{4}{x + 1} = 2$ হলে, $x$ এর মান-

[ বিসিএস ৩৫তম ]

ক. 1

খ. 2

গ. 3

ঘ. 4

প্রশ্নঃ $| x - 3 | < 5$ হলে-

[ বিসিএস ৩৫তম ]

ক.

- 2 < x < 8

খ.

- 8 < x < - 2

ক.

- 2 < x < 8

খ.

- 8 < x < - 2

গ.

- 4 < x < - 2

ক.

2 < x < 8

খ.

- 2 < x < 8

গ.

- 8 < x < - 2

ঘ.

- 4 < x < - 2

উত্তরঃ

- 2 < x < 8

প্রশ্নঃ $x^{- 3} - 0.001 = 0$ হলে, $x^{2}$ এর মান-

[ বিসিএস ৩৫তম ]

ক.

\frac{1}{10}

খ. 100

ক. 100

খ.

\frac{1}{10}

গ.

\frac{1}{100}

ক. 100

খ.

\frac{1}{10}

গ. 10

ঘ.

\frac{1}{100}

প্রশ্নঃ যদি $\frac{Q}{P} = \frac{1}{4}$ হয় তবে $\frac{P + Q}{P - Q}$ এর মান –

[ বিসিএস ৩১তম ]

ক.

\frac{5}{3}

খ.

\frac{2}{3}

ক.

\frac{2}{3}

খ.

\frac{5}{3}

গ.

\frac{3}{5}

ক.

\frac{5}{3}

খ.

\frac{2}{3}

গ.

\frac{3}{5}

ঘ.

\frac{5}{7}

উত্তরঃ

\frac{5}{3}

প্রশ্নঃ যদি $a + b = 2, a b = 1$ হয় তবে $a$ এবং $b$ এর মান যথাক্রমে–

[ বিসিএস ৩১তম ]

ক.

- 1, 3

খ.

1, 1

ক.

1, 1

খ.

- 1, 3

গ.

- 3, - 4

ক.

0, 2

খ.

1, 1

গ.

- 1, 3

ঘ.

- 3, - 4

উত্তরঃ

1, 1

প্রশ্নঃ দুটি সংখ্যার যোগফল 48 এবং তাদের গুণফল 432। তবে বড় সংখ্যাটি কত?

[ বিসিএস ৩১তম ]

ক. 36

খ. 37

গ. 38

ঘ. 40

প্রশ্নঃ $a + b = 7$ এবং $a^{2} + b^{2} = 25$ হলে নিচের কোনটি $a b$ এর মান হবে?

[ বিসিএস ৩১তম ]

ক. 12

খ. 10

গ. 6

ঘ. কোনটিই নয়

প্রশ্নঃ $f (x) = x^{3} + k x^{2} - 6 x - 9; k$ এর মান কত হলে $f (3) = 0$ হবে।

[ বিসিএস ৩১তম ]

ক. 1

খ. -1

গ. 2

ঘ. 0

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত ফাংশনটি হলো:

f (x) = x^{3} + k x^{2} - 6 x - 9

আমাদের

f (3) = 0

হলে

k

এর মান বের করতে হবে। ধাপ 1:

x = 3

বসিয়ে ফাংশনের মান নির্ণয় করি।

f (3) = (3)^{3} + k (3)^{2} - 6 (3) - 9

ধাপ 2: মানগুলি গণনা করি।

f (3) = 27 + 9 k - 18 - 9

ধাপ 3: সমীকরণটি সরলীকরণ করি।

f (3) = 27 - 18 - 9 + 9 k = 0 + 9 k = 9 k

ধাপ 4:

f (3) = 0

হলে,

9 k = 0

ধাপ 5:

k

এর মান নির্ণয় করি।

k = \frac{0}{9} = 0

সুতরাং,

k

এর মান হলো:

0

প্রশ্নঃ $a - \frac{1}{a} = 3$ হলে $a^{3} + \frac{1}{a^{3}}$ এর মান কত?

[ বিসিএস ৩১তম ]

ক. 9

খ. 18

গ. 27

ঘ. 36

ব্যাখ্যাঃ আমাদের দেওয়া সমীকরণটি হল:

a - \frac{1}{a} = 3

আমাদের নির্ণয় করতে হবে:

a^{3} + \frac{1}{a^{3}}

### ধাপ ১: $a^{2} + \frac{1}{a^{2}}$ নির্ণয় করা আমরা জানি,

{(a - \frac{1}{a})}^{2} = a^{2} - 2 + \frac{1}{a^{2}}

এখন উভয় পাশে বর্গ করলে পাইঃ

(3)^{2} = a^{2} - 2 + \frac{1}{a^{2}}

9 = a^{2} + \frac{1}{a^{2}} - 2

a^{2} + \frac{1}{a^{2}} = 11

### ধাপ ২: $a^{3} + \frac{1}{a^{3}}$ নির্ণয় করা আমরা জানি,

a^{3} + \frac{1}{a^{3}} = (a - \frac{1}{a}) \times (a^{2} + \frac{1}{a^{2}}) + (a - \frac{1}{a})

এখন,

a^{3} + \frac{1}{a^{3}} = (3 \times 11) + 3

= 33 + 3

= 36

### চূড়ান্ত উত্তর:

36

প্রশ্নঃ ৪০ সংখ্যাটি a হতে ১১ কম। গাণিতিক আকারে প্রকাশ করলে কি হবে?

[ বিসিএস ২৯তম ]

ক. a + ১১ = ৪০

খ. a + ৪০ = ১১

গ. a = ৪০ + ১১

ঘ. a = ৪০ + ১

ব্যাখ্যাঃ সমীকরণটি হলো:

a - 11 = 40

এখন, উভয় পাশে

11

যোগ করি:

a - 11 + 11 = 40 + 11

a = 51

সুতরাং, $a = 51$ ✅

প্রশ্নঃ যদি (x - y)² = 14 এবং xy = 2 হয়, তবে x² + y² = কত?

[ বিসিএস ২৭তম ]

ক. 12

খ. 14

গ. 16

ঘ. 18

ব্যাখ্যাঃ এই সমস্যাটি সমাধান করার জন্য, আমরা প্রথমে (x - y)² এর সূত্রটি ব্যবহার করব এবং তারপর প্রদত্ত মানগুলি ব্যবহার করে x² + y² এর মান বের করব।
আমরা জানি যে,
(x - y)² = x² - 2xy + y²
প্রশ্নমতে, (x - y)² = 14 এবং xy = 2।
সুতরাং,
14 = x² - 2(2) + y²
বা, 14 = x² - 4 + y²
বা, 14 + 4 = x² + y²
বা, 18 = x² + y²
অতএব, x² + y² = 18।
সুতরাং, নির্ণেয় উত্তর হলো 18।

প্রশ্নঃ $x + y = 8, x - y = 6$ হলে, $x^{2} + y^{2}$ এর মান –

[ বিসিএস ২৬তম ]

ক. 40

খ. 60

গ. 50

ঘ. 80

ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রদত্ত সমীকরণ দুটি ব্যবহার করে

x^{2} + y^{2}

এর মান বের করবো। প্রদত্ত সমীকরণ দুটি:

x + y = 8

x - y = 6

### ধাপ ১: $x$ এবং $y$ এর মান নির্ণয় দুটি সমীকরণ যোগ করলে,

(x + y) + (x - y) = 8 + 6

2 x = 14

x = 7

এখন,

x + y = 8

সমীকরণে

x = 7

বসালে,

7 + y = 8

y = 1

### ধাপ ২: $x^{2} + y^{2}$ এর মান নির্ণয়

x^{2} + y^{2} = 7^{2} + 1^{2}

= 49 + 1

= 50

অতএব, $x^{2} + y^{2}$ এর মান হবে ৫০। ✅

প্রশ্নঃ $a + \frac{1}{a} = \sqrt{3}$ হলে, $a^{2} + \frac{1}{a^{2}}$ এর মান–

[ বিসিএস ২৬তম ]

ক. 6

খ. 4

গ. 2

ঘ. 1

ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রদত্ত সমীকরণটি ব্যবহার করে

a^{2} + \frac{1}{a^{2}}

এর মান বের করব। প্রদত্ত সমীকরণ:

a + \frac{1}{a} = \sqrt{3}

### ধাপ ১: উভয় পাশে বর্গ করা

{(a + \frac{1}{a})}^{2} = (\sqrt{3})^{2}

a^{2} + 2 \cdot a \cdot \frac{1}{a} + \frac{1}{a^{2}} = 3

a^{2} + 2 + \frac{1}{a^{2}} = 3

### ধাপ ২: সমাধান করা

a^{2} + \frac{1}{a^{2}} = 3 - 2

a^{2} + \frac{1}{a^{2}} = 1

অতএব, $a^{2} + \frac{1}{a^{2}}$ এর মান হবে ১।

প্রশ্নঃ $x^{2} - 8 x - 8 y + 16 + y^{2}$ -এর সঙ্গে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ হবে?

[ বিসিএস ২৬তম ]

ক.

8 x y

খ.

2 x y

ক.

- 2 x y

খ.

8 x y

গ.

2 x y

ক.

- 2 x y

খ.

8 x y

গ.

6 x y

$

ঘ.

2 x y

উত্তরঃ

2 x y

ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রদত্ত বহুপদী $x^{2} - 8 x - 8 y + 16 + y^{2}$ এর সঙ্গে এমন একটি সংখ্যা যোগ করব, যাতে এটি একটি পূর্ণবর্গ হয়ে যায়। --- ### ধাপ ১: পূর্ণবর্গের কাঠামো খুঁজে বের করা প্রদত্ত বহুপদীটি আমরা নতুনভাবে সাজাই:

x^{2} - 8 x + y^{2} - 8 y + 16

এটি আমরা $(x - a)^{2} + (y - b)^{2}$ আকারে আনতে চাই। --- ### ধাপ ২: পূর্ণবর্গের জন্য প্রয়োজনীয় সংখ্যা খোঁজা আমরা লক্ষ করি, যদি $2 x y$ যোগ করি, তাহলে একে একটি পূর্ণবর্গ হিসাবে লেখা সম্ভব। অর্থাৎ,

x^{2} - 8 x + y^{2} - 8 y + 16 + 2 x y

এটি $(x - y)^{2}$ বা $(x - a)^{2} + (y - b)^{2}$ রূপে রূপান্তরিত হবে। --- ### উত্তর:

2 x y

যোগ করলে এটি একটি পূর্ণবর্গ বহুপদীতে পরিণত হবে। ✅

প্রশ্নঃ $x^{2} - y^{2} + 2 y - 1$ এর একটি উৎপাদক-

[ বিসিএস ৩২তম | বিসিএস ২৬তম ]

ক.

x - y

খ.

x + y - 1

ক.

x + y + 1

খ.

x + y - 1

গ.

x - y

ক.

x + y + 1

খ.

x - y

গ.

x + y - 1

ঘ.

x - y - 1

উত্তরঃ

x + y - 1

ব্যাখ্যাঃ আমরা প্রদত্ত বহুপদীটি $x^{2} - y^{2} + 2 y - 1$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করব। --- ### ধাপ ১: পরিচিত রূপে সাজানো প্রদত্ত বহুপদীটি লিখতে পারি:

x^{2} - (y^{2} - 2 y + 1)

এখানে, $y^{2} - 2 y + 1$ অংশটিকে পূর্ণবর্গ হিসাবে লেখা যায়:

y^{2} - 2 y + 1 = (y - 1)^{2}

তাহলে, সমীকরণটি হয়:

x^{2} - (y - 1)^{2}

--- ### ধাপ ২: উৎপাদক রূপে লেখা ( $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ সূত্র প্রয়োগ)

x^{2} - (y - 1)^{2} = (x - (y - 1)) (x + (y - 1))

= (x - y + 1) (x + y - 1)

--- ### উত্তর: একটি উৎপাদক হলো $(x + y - 1)$ ✅

প্রশ্নঃ $x + \frac{1}{x} = \sqrt{3}$ হলে, $x^{2} + \frac{1}{x^{3}}$ -এর মান-

[ বিসিএস ২৫তম ]

ক. 2

খ. 4

গ. 0

ঘ. 6

ব্যাখ্যাঃ

x^{3} + \frac{1}{x^{3}} = (x + \frac{1}{x})^{3} - 3 x . \frac{1}{x} (x + \frac{1}{x})

(\sqrt{3})^{3} - 3 \sqrt{3} = 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} = 0

প্রশ্নঃ $x + y = 6$ এবং $x y = 8$ হলে $(x - y)^{2}$ –এর মান কত?

[ বিসিএস ২৫তম ]

ক. 4

খ. 6

গ. 8

ঘ. 12

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সমীকরণ:

x + y = 6

x y = 8

আমরা

(x - y)^{2}

এর মান নির্ণয় করতে চাই। ### সমাধান: আমরা জানি,

(x - y)^{2} = (x + y)^{2} - 4 x y

প্রদত্ত মানগুলি বসালে:

(x - y)^{2} = (6)^{2} - 4 \times 8

(x - y)^{2} = 36 - 32

(x - y)^{2} = 4

### উত্তর:

4

প্রশ্নঃ $x + y = 7$ এবং $xy = 10$ হলে, $(x - y)^{2}$ -এর মান কত?

[ বিসিএস ২৪তম ]

ক. 3

খ. 6

গ. 9

ঘ. 12

ব্যাখ্যাঃ আমরা

(x - y)^{2}

এর মান নির্ণয় করতে পারি। প্রথমে,

(x - y)^{2}

এর সম্প্রসারণ করি:

(x - y)^{2} = x^{2} - 2 x y + y^{2}

এখন,

x^{2} + y^{2}

এর মান নির্ণয় করার জন্য

(x + y)^{2}

ব্যবহার করি:

(x + y)^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2}

আমাদের জানা আছে

x + y = 7

এবং

x y = 10

, তাই:

(x + y)^{2} = 7^{2} = 49

49 = x^{2} + 2 x y + y^{2}

এখন,

x^{2} + y^{2}

নির্ণয় করি:

x^{2} + y^{2} = 49 - 2 x y

যেহেতু

x y = 10

:

x^{2} + y^{2} = 49 - 2 \times 10 = 49 - 20 = 29

এখন,

(x - y)^{2}

নির্ণয় করি:

(x - y)^{2} = x^{2} - 2 x y + y^{2}

(x - y)^{2} = 29 - 20 = 9

তাহলে,

(x - y)^{2}

এর মান হল ৯।

প্রশ্নঃ $x + y = 12$ এবং $x - y = 2$ হলে $x y$ -এর মান কত?

[ বিসিএস ২২তম ]

ক. 35

খ. 140

গ. 70

ঘ. 144

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে, আমরা দুটি সমীকরণ সমাধান করব:

x + y = 12

x - y = 2

এই দুটি সমীকরণকে যোগ করে পাই:

(x + y) + (x - y) = 12 + 2

2 x = 14

x = 7

এখন

x

-এর মান

x + y = 12

সমীকরণে বসাই:

7 + y = 12

y = 12 - 7

y = 5

তাহলে,

x = 7

এবং

y = 5

। এখন

x y

-এর মান নির্ণয় করি:

x y = 7 \times 5 = 35

তাহলে,

x y

-এর মান হল ৩৫।

প্রশ্নঃ $\frac{x}{y}$ এর সঙ্গে কত যোগ করলে যোগফল $\frac{2 y}{x}$ হবে?

[ বিসিএস ২০তম ]

ক.

\frac{x^{2} - y^{2}}{x y}

খ.

\frac{2 y^{2} - x^{2}}{x y}

ক.

\frac{2 y^{2} - x^{2}}{x y}

খ.

\frac{x^{2} - 2 y^{2}}{x y}

গ.

\frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x y}

ক.

\frac{2 y^{2} - x^{2}}{x y}

খ.

\frac{x^{2} - 2 y^{2}}{x y}

গ.

\frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x y}

ঘ.

\frac{x^{2} - y^{2}}{x y}

উত্তরঃ

\frac{2 y^{2} - x^{2}}{x y}

ব্যাখ্যাঃ প্রশ্নটি হলো,

\frac{x}{y}

এর সঙ্গে কত যোগ করলে যোগফল

\frac{2 y}{x}

হবে?

ধরা যাক, যোগফল হবে

k

।

তাহলে, সমীকরণটি দাঁড়াবে:

\frac{x}{y} + k = \frac{2 y}{x}

k

-এর মান নির্ণয়ের জন্য:

k = \frac{2 y}{x} - \frac{x}{y}

এখন সাধারণ হার নির্ণয় করতে ল.সা.গু (LCM) নেব:

k = \frac{2 y^{2} - x^{2}}{x y}

তাহলে, সঠিক উত্তর:

k = \frac{2 y^{2} - x^{2}}{x y}

প্রশ্নঃ $x^{2} + y^{2} = 8$ এবং $x y = 7$ হলে $(x + y)^{2}$ এর মান কত?

[ বিসিএস ২০তম ]

ক. ১৪

খ. ১৬

গ. ২২

ঘ. ৩০

ব্যাখ্যাঃ আমরা জানি,

(x + y)^{2} = x^{2} + y^{2} + 2 x y

প্রশ্নে প্রদত্ত,

x^{2} + y^{2} = 8

x y = 7

অতএব,

(x + y)^{2} = 8 + 2 \times 7

(x + y)^{2} = 8 + 14

(x + y)^{2} = 22

অতএব,

(x + y)^{2}

এর মান হলো ২২।

প্রশ্নঃ যদি $x + 5 y = 16$ এবং $x = 3 y$ হয়, তাহলে $y =$ কত?

[ বিসিএস ১৮তম ]

ক.

- 2

খ.

2

ক.

- 24

খ.

- 2

গ.

2

ক.

- 24

খ.

- 2

গ.

8

ঘ.

2

উত্তরঃ

2

ব্যাখ্যাঃ প্রশ্নে প্রদত্ত:

1.

x + 5 y = 16

2.

x = 3 y

প্রথম সমীকরণে

x = 3 y

বসাই:

3 y + 5 y = 16

8 y = 16

y = \frac{16}{8}

y = 2

অতএব,

y

এর মান হলো ২।

প্রশ্নঃ $x - [x - x - (x + 1)]$ - এর মান কত?

[ বিসিএস ১৭তম ]

ক.

- 1

খ.

x + 1

ক.

x + 1

খ.

x - 1

গ.

- 1

ক.

x + 1

খ.

1

গ.

- 1

ঘ.

x - 1

উত্তরঃ

- 1

ব্যাখ্যাঃ প্রশ্নটিকে সরল করি:

x - [x - {x - (x + 1)}]

প্রথমে ভেতরের অংশটি সমাধান করি:

x - (x + 1) = - 1

এখন,

x - [x - {- 1}]

এর পরবর্তী ধাপ:

x - [x + 1] = x - x - 1 = - 1

অতএব,

x - [x - {x - (x + 1)}]

এর মান হলো -১।

প্রশ্নঃ $\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2} + 2 a b}{a^{2} - b^{2} + c^{2} + 2 a c} =$ কত?

[ বিসিএস ১৬তম ]

ক.

\frac{a + b - c}{a - b + c}

খ.

\frac{a - b + c}{a + b - c}

ক.

a + b + c

খ.

\frac{a + b - c}{a - b + c}

গ.

\frac{a + b - c}{a + b + c}

ক.

a + b + c

খ.

\frac{a + b - c}{a - b + c}

গ.

\frac{a - b + c}{a + b - c}

ঘ.

\frac{a + b - c}{a + b + c}

উত্তরঃ

\frac{a + b - c}{a - b + c}

ব্যাখ্যাঃ

\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2} + 2 a b}{a^{2} - b^{2} + c^{2} + 2 a c}

\Rightarrow \frac{(a + b)^{2} - c^{2}}{(a + c)^{2} - b^{2}}

\Rightarrow \frac{(a + b + c) (a + b - c)}{(a + c + b) (a + c - b)}

\Rightarrow \frac{a + b - c}{a - b + c}

প্রশ্নঃ $a + b + c = 9, a^{2} + b^{2} + c^{2} = 29$ হলে $a b + b c + c a$ এর মান কত?

[ বিসিএস ১৬তম ]

ক. 52

খ. 46

গ. 26

ঘ. 22

ব্যাখ্যাঃ প্রশ্নটি ছিলঃ

a + b + c = 9

এবং

a^{2} + b^{2} + c^{2} = 29

।

a b + b c + c a

এর মান নির্ণয় করতে হবে।

আমরা নিচের পরিচিত পরিচয়ের ব্যবহার করিঃ

(a + b + c)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 (a b + b c + c a)

প্রথমে, আমরা জানি যে:

(9)^{2} = 29 + 2 (a b + b c + c a)

এখন, সরল করিঃ

81 = 29 + 2 (a b + b c + c a)

29 উভয় দিক থেকে বিয়োগ করুন:

52 = 2 (a b + b c + c a)

2 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন:

a b + b c + c a = 26

অতএব,

a b + b c + c a

এর মান 26।

প্রশ্নঃ $a = 1, b = - 1, c = 2, d = - 2$ হলে, $a - (- b) - (- c) - (- d)$ এর মান কত?

[ বিসিএস ১৫তম ]

ক. 0

খ. 1

গ. 2

ঘ. 3

ব্যাখ্যাঃ

a = 1, b = - 1, c = 2, d = - 2

ধরি,

a - (- b) - (- c) - (- d)

এর মান নির্ণয় করি।

প্রথমে, নেতিবাচক চিহ্নগুলিকে সরিয়ে ফেলি:

a - (- b) - (- c) - (- d) = a + b + c + d

অতএব,

1 + (- 1) + 2 + (- 2)

এর মান বের করি:

1 - 1 + 2 - 2 = 0

অতএব,

a - (- b) - (- c) - (- d)

এর মান হল ০।

প্রশ্নঃ $(2 + x) + 3 = 3 (x + 2)$ হলে $x$ এর মান কত?

[ বিসিএস ১৫তম ]

ক.

- \frac{1}{2}

খ.

\frac{1}{2}

ক.

\frac{1}{2}

খ.

\frac{2}{3}

গ.

- \frac{1}{2}

ক.

- \frac{1}{2}

খ.

\frac{1}{2}

গ.

\frac{1}{3}

ঘ.

\frac{2}{3}

উত্তরঃ

- \frac{1}{2}

ব্যাখ্যাঃ আমরা সমীকরণটি ধাপে ধাপে সমাধান করি:

প্রথমে মূল সমীকরণটি লিখি:

(2 + x) + 3 = 3 (x + 2)

এখন বন্ধনীগুলি সরিয়ে ফেলি:

2 + x + 3 = 3 x + 6

এখন উভয় পক্ষে একত্রিত করি:

5 + x = 3 x + 6

এখন

x

এর শর্তগুলো একপক্ষে এবং ধ্রুবকগুলো অন্যপক্ষে নিয়ে যাই:

5 - 6 = 3 x - x

- 1 = 2 x

এখন

x

নির্ণয় করি:

x = \frac{- 1}{2}

অতএব, সমীকরণের জন্য

x

এর মান হলো

- \frac{1}{2}

।

প্রশ্নঃ $\frac{1}{2} (a + b)^{2} + (a - b)^{2} =$ কত?

[ বিসিএস ১৪তম ]

ক.

a^{2} + b^{2}

খ.

\frac{(a + b)^{2}}{2} - \frac{(a - b)^{2}}{2}

ক.

a^{2} - b^{2}

খ.

(a + b)^{2} + (a - b)^{2}

গ.

a^{2} + b^{2}

ক.

a^{2} + b^{2}

খ.

a^{2} - b^{2}

গ.

\frac{(a + b)^{2}}{2} - \frac{(a - b)^{2}}{2}

ঘ.

(a + b)^{2} + (a - b)^{2}

উত্তরঃ

a^{2} + b^{2}

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে

(a + b)^{2}

এবং

(a - b)^{2}

বের করি:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}

এখন এই দুটি যোগ করি:

(a + b)^{2} + (a - b)^{2} = (a^{2} + 2 a b + b^{2}) + (a^{2} - 2 a b + b^{2})

= a^{2} + 2 a b + b^{2} + a^{2} - 2 a b + b^{2}

= 2 a^{2} + 2 b^{2}

এখন এই যোগফলটির

\frac{1}{2}

অংশ বের করি:

\frac{1}{2} (2 a^{2} + 2 b^{2})

= a^{2} + b^{2}

অতএব,

\frac{1}{2} ((a + b)^{2} + (a - b)^{2}) = a^{2} + b^{2}

প্রশ্নঃ যদি $x^{3} + h x + 10 = 0$ এর সমাধান $2$ হয়, তবে $h$ এর মান কত?

[ বিসিএস ১৩তম ]

ক.

- 2

খ.

- 9

ক.

- 9

খ. 9

গ.

- 2

ক. 10

খ. 9

গ.

- 9

ঘ.

- 2

উত্তরঃ

- 9

ব্যাখ্যাঃ প্রদত্ত সমীকরণে

x = 2

বসিয়ে

h

এর মান নির্ণয় করা যাবে। সমীকরণটি হলো:

x^{3} + h x + 10 = 0

(2)^{3} + h (2) + 10 = 0

8 + 2 h + 10 = 0

18 + 2 h = 0

2 h = - 18

h = \frac{- 18}{2}

h = - 9

অতএব,

h

এর মান -9।

প্রশ্নঃ যদি $a^{3} - b^{3} = 513$ এবং $a - b = 3$ হয় তবে $a b$ -এর মান কত?

[ বিসিএস ১১তম ]

ক. 54

খ. 35

গ. 45

ঘ. 55

ব্যাখ্যাঃ ধরি,

a^{3} - b^{3} = (a - b)^{3} + 3 a b (a - b)

আমাদের দেওয়া আছে

a - b = 3

, তাই

513 = 27 + 9 a b

9 a b = 486

অতএব,

a b = \frac{486}{9} = 54

প্রশ্নঃ $(x + 3) (x - 3)$ কে $x^{2} - 6$ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?

[ বিসিএস ১১তম ]

ক.

- 6

খ.

- 3

ক.

- 3

খ.

6

গ.

- 6

ক.

- 6

খ.

3

গ.

6

ঘ.

- 3

উত্তরঃ

- 3

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে, আমরা

(x + 3) (x - 3)

প্রকাশ করি:

(x + 3) (x - 3) = x^{2} - 9

এখন,

x^{2} - 6

দিয়ে ভাগ করি:

\frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 6}

এখানে

x^{2} - 9

কে

x^{2} - 6

দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল

1

এবং ভাগশেষ

- 3

হবে। তাহলে,

- 3

প্রশ্নঃ $a + b = 5$ এবং $a - b = 3$ হলে $a b$ এর মান কত?

[ বিসিএস ১০তম ]

ক. 2

খ. 3

গ. 4

ঘ. 5

ব্যাখ্যাঃ আমরা দেওয়া সমীকরণগুলোকে ব্যবহার করবো:

a + b = 5

a - b = 3

প্রথমে,

a

এবং

b

এর মান নির্ণয় করি। দুটি সমীকরণ যোগ করি:

(a + b) + (a - b) = 5 + 3

2 a = 8

a = 4

এখন,

a

এর মান ব্যবহার করে

b

এর মান নির্ণয় করি:

a + b = 5

4 + b = 5

b = 1

এখন

a b

এর মান নির্ণয় করি:

a b = 4 \times 1 = 4

অতএব,

a b

এর মান 4।

সেটিং

জব প্রিপারেশন বই

প্রশ্নঃ যদি দুটি সংখ্যার যোগফল এবং গুণফল যথাক্রমে 20 এবং 96 হয়, তবে সংখ্যা দুইটির ব্যস্তানুপাতিক (reciprocals) যোগফল কত হবে?

লগইন করুন

সেটিং

জব প্রিপারেশন বই

প্রশ্নঃ যদি দুটি সংখ্যার যোগফল এবং গুণফল যথাক্রমে 20 এবং 96 হয়, তবে সংখ্যা দুইটির ব্যস্তানুপাতিক (reciprocals) যোগফল কত হবে?

Related MCQ